一阶线性动态电路的“四要素”分析方法

肇巍　张国光

摘要：一阶线性动态电路的输入—输出方程是一阶常系数非齐次微分方程，通过对微分方程的求解，得出在任意激励条件下，响应的一般形式，给出了电路响应的“四要素”表达式，使一阶线性动态电路的分析简便、直接、清晰。

关键词：电路分析；阶线性动态电路；分析方法；四要素

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）20-0074-02

《电路分析》是高等院校电子信息类专业学生的必修课程，它是以后各专业课（如《模拟电子线路》、《数字电子线路》、《通信电子线路》、《信号与系统》、《数字信号处理》等）的基础，所以《电路分析原理》是一门十分重要的课程。一阶线性动态电路是电路理论及电路分析中最基本的电路，求一阶动态电路的全响应，通常是用经典法，即先由基尔霍夫定律列方程，经过整理其数学方程为一阶线性微分方程，求解该微分方程则得到该电路的全响应。本文介绍一种通用求解方祛，避开了高等数学知识，容易掌握，解题方便。

一、一阶线性动态电路的输入—输出方程

把电路换路瞬时定为t=0时刻，换路后电路的激励为e（t），响应为r（t）。在t>0时描述一阶电路的输入—输出方程的普遍形式为a+br（t）=ce（t） （1），式中，a、b、c为常系数。可知式（1）为一阶常系数非齐次微分方程，那么方程的解r（t）即为在e（t）激励下电路的响应。

二、一阶线性动态电路分析的“四要素”法

根据微分方程理论，式（1）的解由两部分组成：一是微分方程的特解，在电路分析中称为强制响应，用r（t）表示；二是其对应的齐次微分方程的通解，在电路分析中称为固有响应，用r（t）表示。于是式（1）的解可写为r（t）=r（t）+r（t） （2）。r（t）与激励的形式有关，而r（t）具有固定形式，为r（t）=Ke （3）。式中，K是积分常数，s是齐次微分方程的特征方程as+b=0的根，即s=-b/a。在电路分析中，式（3）写成如下形式r（t）=

Ke （4），其中，积分常数K可由初始条件确定，即K=r（0）-r（0） （5），于是r（t）=r（t）+[r（0）-r（0）]

e （6）。这就是一阶线性动态电路在任意激励时，响应r（t）的计算公式。式中r（t）、r（0）、r（0）和τ称为一阶电路的四要素。r（t）和r（0）是一阶电路的强制响应及其初始值，r（0）是响应r（t）的初始值，τ是电路的时间常数。利用式（6）分析一阶电路的方法称为“四要素”法，式（6）为“四要素”公式。

三、不同信号源激励时的“四要素”公式

（一）直流信号源激励时的情况

根据动态元件（电容和电感）的性质，直流激励时强制响应是一恒量，它与时间无关，即为响应的稳态值r（∞），因此r（t）=r（0）=r（∞），于是直流激勵一阶电路的“四要素”缩减成了“三要素”，式（6）变成了r（t）=r（∞）+[r（0）-r（∞）]e （7）。式中，r（∞）为响应r（t）的稳态值，可通过稳态等效电路（电容看作开路，电感看作短路）求得；r（0）是响应r（t）的初始值，可利用换路定律，通过0等效电路（电容看作电压源，电感看作电流源）求得；τ是电路的时间常数，电容电路τ=ReqC，电感电路τ=L/Req，Req为动态元件（电容和电感）端口的等效电阻。这就是所熟知的“三要素”公式。可见一阶电路“三要素”法是“四要素”法的一个特例。在直流激励一阶电路中，常用“三要素”法来分析电路的响应，非常简单。

（二）非直流信号源激励时的情况

一阶电路的激励若为非直流信号，则强制响应即为稳态响应，用r（t）表示，于是我们可以把式（6）写为

r（t）=r（t）+[r（0）-r（0）]e （8）。这就是非直流信号激励时，一阶电路“四要素”法公式。式中r（t）和

r（0）是一阶电路的稳态响应及其初始值，r（0）是响应r（t）的初始值，τ是电路的时间常数。

1.正弦信号源激励的情况。（1）初始值r（0）的求法：①换路前，电路为直流激励，初始值r（0）的求法与式（7）相同。②换路前，电路为正弦激励，利用分析正弦稳态电路的相量法，先确定t<0时刻的原正弦稳态响应

r（t），再取t=0计算初始值r（0）=r（0）。（2）时间常数τ的计算方法。时间常数τ的计算方法与式（7）相同，即电容电路τ=RC，电感电路τ=L/R。（3）稳态响应r（t）及其初始值r（0）的求法。稳态响应r（t）可通过分析正弦稳态电路的相量法求得，取t=0计算初始值r（0）。

例：图1所示电路中，u=2sin0.5tV，

i=2sin0.5tA，开关S在t=0时由a合向b，且开关合在a时电路已达稳态，试求t>0时电路中的电流i。

解：开关合在a时：

==∠-45°A

i（t）=2sin（0.5t-45°）A

i（0）=i（0）=2sin（-45°）=-A

开关合在b时：

i（t）=i（t）=2sin0.5tA

i（0）=0A

τ==2s

代入公式（8）得t>0时：

i（t）=（2sin0.5t-e）A

2.非正弦信号源激励的情况。一阶电路的激励若为非正弦信号，响应r（t）一般形式仍可用式（8）表示。（1）初始值r（0）的求法：①换路前，电路为直流激励，初始值r（0）的求法与式（7）相同。②换路前，电路为正弦激励，利用分析正弦稳态电路的相量法，先确定t<0时刻的原正弦稳态响应r（t），再取t=0计算初始值

r（0）=r（0）。③换路前，电路为非正弦激励，保持激励源不变，采用电路分析方法，先确定t<0时刻的原稳态响应r（t），再取t=0计算初始值r（0）=r（0）。（2）时间常数τ的计算方法。时间常数τ的计算方法与式（7）相同，即电容电路τ=RC，电感电路τ=L/R。（3）稳态响应r（t）及其初始值r（0）的求法。保持激励源不变，采用电路分析方法，确定稳态响应rs（t），取t=0+计算初始值r（0）。

四、结论

“四要素”法比经典法、拉普拉斯变换法，简便、直接、清晰，是适用于各种信号激励的一阶线性动态电路全响应、零输入响应和零状态响应的分析，它具有普遍意义。

参考文献：

[1]邱关源.罗先觉，修订.电路（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]李翰逊.电路分析基础[M].北京：高等教育出版社，1992.

[3]周守昌.电路原理[M].北京：高等教育出版社，2004.