求解双曲线离心率

万青 张国富

双曲线离心率的求值与范围问题是高考的常见题型，如何求解此类问题是高中生在学习圆锥曲线这一章的一个难点问题，下面就高考常见题型中此类问题的求法作一个简单的小结.

利用公式定义求离心率

例1 已知双曲线方程为[x24-y2y=1]，则其离心率为 .

解析 此题只需根据方程正确确定a，b，c的值，利用离心率计算公式[e=ca]即可简单快捷求解.

例2 已知双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的渐近线方程为[y=±2x]，则该双曲线的离心率为 .

解析 依题意可知[ba=2]，

又[e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2]，

所以[e2=5]，又[e>1]，所以[e=5].

点拨 此题是考查双曲线方程中a，b，c三个量之间的关系，即已知双曲线渐近线方程（或斜率）即可根据定义直接求解，公式：[e=c2a2=1+（ba）2]. 此类题型只需要弄清双曲线方程中三个基本量a，b，c之间的等量关系，利用[e=ca]可直接求解，是高考中的送分题.

[利用直线与双曲线的关系求离心率]

例3 设直线[x-3y+m=0（m≠0）]与双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的两条渐近线分别交于A，B两点，若点[Pm，0]满足[PA=PB]，则该双曲线的离心率是 .

解析 联立直线方程与双曲线渐近方程[y=±bax]，

可解得交点为[（am3b-a，bm3b-a），（-am3b+a，bm3b+a）]，

而[kAB=13，]由[PA=PB]，可得AB的中点与点P的直线的斜率为[-3]. 即[bm3b-a+bm3b+a2-0am3b-a+-am3b+a2-m=-3]，

整理得：[4b2=a2]，∴[e=52.]

点拨 此题充分考查直线与双曲线的位置关系问题，需要通过求解两直线的交点，利用斜率关系去求离心率.

[构造齐次式求离心率]

例4 设[F1，F2]分别为双曲线[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的左右焦点，双曲线上存在一点P，使得[PF1+PF2=3b，PF1?PF2=94ab]，求双曲线离心率[e].

解析 根据题意P点在双曲线的左支上或右支上对结果不影响，所以不妨设P点为右支上一点，由双曲线的定义可知[PF1-PF2=2a]，

联立[PF1+PF2=3b]，

∴ 平方相减可得[PF1?PF2=9b2-4a24=94ab]

[?9b2-4a2=9ab]，

即[9ba2-9ba-4=0]，即[3ba+13ba-4=0]，

∴ [ba=43]（[ba=-13]舍去），

∴ [b2a2=c2-a2a2=169?e2=259]，

又因为[e>1]，∴ [e=53].

点拨 此题借用双曲线定义转化到a，b齐次式可得到[ba=43]，从而得到离心率.

[利用椭圆与双曲线关系求离心率 ]

例5 如图，[F1，F2]是椭圆[C1]：[x24+y2=1]与双曲线[C2]的公共焦点，[A]，[B]分别是[C1]，[C2]在第二，四象限的公共点，若四边形[AF1BF2]为矩形，则[C2]的离心率为（ ）

[y] [x][O][A][B][F2][F1]

A. [2] B. [3] C. [32] D. [62]

解析 点A在椭圆C1，

根据椭圆定义得：[AF2+AF1=4]. ①

点A在双曲线C2上，根据双曲线定义得（设双曲线方程为[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]），

则[AF2-AF1=2a]. ②

由①②可得[AF1=2-a，AF2=2+a]，

且[F1F2=2c=23]，∴[c=3].

又四边形[AF1BF2]为矩形，所以[△AF1F2]为直角三角形，∴[（2-a）2+（2+a）2=12]，

解得[a=2]，∴[e=ca=32=62].

答案 D

点拨 该题利用几何关系构建a，b，c的等量关系. 化归为关于a的一元二次方程直接求解出a，则该题可解.

[利用三角形与双曲线关系]

[M][x][A][B][O] [y] 例6 如图，已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，[△ABM]为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）

A. [5] B.2

C. [3] D. [2]

解析 设双曲线E的标准方程为[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]，则[A-a，0，B（a，0）]，

不妨设M在第一象限内，由题知[∠MBA=120°].

则[∠MBX=60°，]而[AB=BM=2a]，∴[M（2a，3a）]，

又点M在双曲线上

∴[（2a）2a2-（3a）2b2=1 ?b2=a2，]

∴[e=1+b2a2=2].

答案 D

点拨 利用三角形内角与外角关系，借用直角三角形中特殊角找到边的关系，从而得到M点坐标而求解.

[利用抛物线与双曲线关系]

例7 平面直角坐标xOy中，双曲线[C1：x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的渐近线与抛物线[C2：x2=2py（p>0）]交于点[O，A，B]，若[△OAB]的重心为C2的焦点，则C1的离心率为 .

解析 设点A在点B左侧，抛物线C2的焦点为F，

则F（0，[p2]），联立得[x2=2py，y=-bax，]和[x2=2py，y=bax，]

分别[A（-2bpa，2b2pa2），B（2bpa，2b2pa2）]，

∵[F]为[△OAB]的重心，

∴[AF⊥OB]，∴[kAF?kOB=-1]，

即[2b2pa2-p2-2bpa·ba=-1?4b2=5a2?4（c2-a2）=5a2]

[?c2a2=94].

∴[e=ca=32].

点拨 借用双曲线渐近性与抛物线联立方程求出坐标，注重计算，结合重心关系，达到解题目的.

求双曲线的离心率问题，背景题设条件非常丰富，结合非常广，但基本的条件[c2=a2+b2]不变，我们要善于从题设条件中挖掘等量或不等关系，转化成a与c的关系即可求解.