浅谈数独与数学思维培养

别依然

数学思维能力，是用数学的观点去思考问题和解决问题的能力. 我们在高中数学学习过程中，有意识地培养数学思维能力，是变被动学习为主动学习的关键一环. 下面，我们主要通过数独这种数学游戏，为大家介绍应该如何有针对性地培养数学思维能力.

所谓数独，是源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的拉丁方阵，后来发展为在9×9数格中，每一行、每一列、每个粗线宫格内数字包含1～9不重复的数学游戏. 如图1所示：

阴影部分不可能出现数字A，在数独开局时要注意全盘考虑. 首先确定可以用余数法和摒除法填出的数字. 而在数学的解题过程之中，许多时候也需要纵观全局，把握整题的考查方向，并采取有针对性地思维方法和技巧，往往能起到事半功倍的效果.

[熟悉概念，明确限制条件]

解析 易知C1列中还缺少数字2、5、9，因为R5列已有数字2和9，所以在（R5，C1）这个格子中就只能填5. 此时，再通过其它提示数进行删减等位群格得到（R6，C5）位数字5.

点拨 熟记数学定义及概念，一方面是便于我们理解知识，另一方面是这些定义与概念反映到具体的试题中往往代表了许多隐含的限制条件，有助于我们排除干扰项. 例如此题的解答过程，就是通过利用数独游戏中特定的“某一行或某一列中不能重复出现相同数字”这一游戏规则完成对数字2和9的排除. 这种思维方法在高中数学解题中也十分实用，许多题目通过这种定义及概念排除法就可以轻易得出答案，尤其是在涉及曲线方程的试题中，根据相关图形定义排除方程增根，将有效规避错误解答，节省答题时间.

[逻辑思维，步步为营]

解析 由（R8，C2）的7可知，第九宫中的7一定在R9这一行，由此又可知第八宫中的7在R7行. 又即有7在C4、C6，因此可填出（R7，C5）处为7，故第二宫的7位于（R1，C6）. 又可得出第一宫的7位于（R3，C3）处，所以第四宫的7位于（R5，C1）处，故第六宫的7位于（R4，C7），这时发现，原本推理的源头，第九宫的7被推出，位于（R9，C9）.

点拨 高中数学解题也是一样，不能全靠投机取巧走捷径，普遍还是要依赖大量扎实严密的逻辑推理和计算. 例如在解三角函数方程时，一般会有如下几个步骤：确定自变量范围→确定值域→确定函数准确值→求出自变量. 这种步步为营的解题方式，是高中数学的基石，正所谓“当笨办法是解题的唯一方法时，它就是最好的办法”. 因此，同学们在平时的练习中，要有意识地锻炼自己的逻辑思维能力，这是加快解题速度的基础.

[逆向思维，另辟蹊径]

解析 利用现有的条件无法用常规逻辑推导得到C1的最终填法. 因此，不妨假设（R5，C1）为3，（R6，C1）为7，再通过模糊推断法可得到第五宫格的7和3的位置. 但此时观察第八宫格，3、7、8这3个数均只能在该宫格的C5处，且第八宫格中已出现6，出现了矛盾. 由此可以假设不实. 因此正确填法是（R5，C1）为7，（R6，C1）为3.

点拨 在高中数学中，假设法、反证法是十分有效及常用的证明手段和解题手段. 许多证明题直接从正面推导往往难以下手，于是便假设命题不成立，提出其与已知条件或公理的矛盾，从而设法推导得到“假设不真，命题成立”的结果. 比如解答排列组合题时，经常会遇到正面推导繁杂无比，而且容易遗漏特定情况的排列组合，此时不妨利用逆向思维，先计算完全不满足所设条件的排列组合情况，再通过补集法得到答案.

[发散思维，类比分析]

例4 如图5，函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图像，则函数g（x）的解析式是（ ）

[O][y][x][g（x）][f（x）=sin2x]

图5

A. g（x）=sin（2x[-π3]） B. g（x）=sin（2x[+2π3]）

C. g（x）=cos（2x[+5π6]） D. g（x）=cos（2x[-5π6]）

解析 由图显然可知g（0）≤0，故排除B、D选项；f（[π8]）=[22]=g（[17π24]），将[17π24]代入A，C两答案，可排除A，答案选C.

例5 求证y=sinx的最小正周期为2π.

解析 ∵sin（x+2π）=sinx，

∴2π是y=sinx的一个周期.

假设存在常数T[∈]（0，2π）是y=sinx的最小正周期，

∴sin（x+t）=sinx对x[∈]R恒成立.

令x=[π2]，则sin（[π2]+T）=cosT=sin[π2]=1，

∴T=2kπ（k[∈]Z）与T[∈]（0，2π）矛盾.

所以假设不成立，命题成立.

例6 若x2+tx>4x+t-3，存在t[∈]（1，4]使之成立，求x的范围.

解析 整理不等式得：（x-1）t-4x+x2+3>0，存在t[∈]（1，4]使之成立.

若直接进行推算，要讨论x>1，x=1，x<1三种情况，

故转而求：当t[∈]（1，4]时，若（x-1）t-4x+x2+3≤0恒成立.

则令f（t）=（x-1）t-4x+x2+3 为关于t的一次函数，

∴只要f（4）≤0；且f（1）≤0

可得结果为x=1

由补集法可知，满足题意的x的取值范围为（-∞，1）U（1，+∞）.

点拨 在解数独的过程中，经常有种有趣的现象：做数独推算时，偶尔还需要用相对概率来提高准确率，在某格中某数的出现概率=它在九宫格出现的概率（为0或1）×它在某行出现的概率×它在某列出现的概率. 这样，通过这个公式，就可以在进行假设时提高正确率，更高效地解决数独.

同样，在高中数学的解题过程中，通过大量练习的积累，会逐渐形成一种感觉经验——拿到一道题目，稍加分析，就可以判断出用什么方法解答最简洁方便. 就像上面列举的三个例题的解题过程一样，都是采取最有效方法的最优解. 要形成这种快速、高效、准确解答的技能，就要求我们在平时的练习中，利用发散思维，多开展“一题多解”与“多题一解”的尝试，然后通过类比分析，真正体会到针对某一类题型或某一类问题的最优化解答方式. 这样才能在考试中，有效提升解题速度和准确率.

数独只是利用数学规律演化出的一种相对简单的游戏. 但透过这扇窗户，给我们展示了一番崭新的景象——在数学思维的指引下，正确地做题，比单纯题海战术一味只想把题做正确，要更有收获，学习更高效.

数独约有6.67×1021种组合，我们不是电脑，不能用无尽地尝试来解决这难题，我们只有用科学的数学思维照亮前路，去思索，去挖掘. 数独如此，数学，亦是如此.