例析正态分布

陈静 柯淑芬

正态分布是随机变量基础而核心的部分，通过利用公式处理数据，对某事件做出预测. 处理本节习题的重要思想是化归思想，将未知的、不熟悉的问题转化为已知的、熟悉的问题，是我们常用的手段与思考问题的出发点. 下面我们通过几道例题一起来了解如何处理正态分布的题型.

[参数对正态分布图象的影响]

例1 已知三个正态分布密度函数[φix=12πσie-x-μi22σ2i]

（[x∈R]，[i=1，2，3]）的图象如图所示，则（ ）

[O][x]

A. [μ1<μ2=μ3]，[σ1=σ2>σ3]

B. [μ1>μ2=μ3]，[σ1=σ2<σ3]

C. [μ1=μ2<μ3]，[σ1<σ2=σ3]

D. [μ1<μ2=μ3]，[σ1=σ2<σ3]

解析 平均数μ决定正态曲线的对称轴（中心位置）；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度. σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平. 从图象中不难发现[y=φ1（x）]与[y=φ2（x）]的形状相同且[y=φ3（x）]的图象比他们要扁平，[y=φ2（x）]与[y=φ3（x）]图象的对称轴相同且在[y=φ1（x）]图象的对称轴的右边.

答案 D

[正态分布曲线的对称性]

例2 如图是正态分布N～（0，1）的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的个数为（ ）

[O][y][x][-a]

①[12-φ（-a）] ②[φ（-a）]

③[φ（a）-12] ④[12φ（a）-φ（-a）]

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 该题目需掌握以下几个知识点：曲线与x轴围成的区域面积表示概率，其值为1；图象关于y轴对称，因此y轴两侧对应的区域面积均为[12]；[φ（a）]表示的是指[x≤a]时对应的区域面积. 在[-a≤x≤a]处的图象关于y轴对称，结合这几点不难得出①③④正确.

答案 C

[标准正态分布概率的求解]

例3 设随机变量ε服从N（0，1），求下列各式的值：

（1）[P（ε≥2.55）]；

（2）[P（ε<-1.44）]；

（3）[P（ε<1.52）].

分析 一个随机变量若服从标准正态分布，则可以借助标准正态分布表，查出其值. 但在标准正态分布表中只给出了[x0≥0]，即[P（x解 （1）[P（ε≥2.55）=1-P（ε<2.55）]

=[1-φ（2.55）=1-0.9946=0.0054]；

（2）[P（ε<-1.44）=φ（-1.44）=1-φ（1.44）]

[=1-0.9251=0.0749]；

（3）[P（ε<-1.52）=P（-1.52<ε<1.52）]

[=φ（1.52）-φ（-1.52）=2φ（1.52）-1]

[=2×0.9357-1=0.8714].

[一般正态分布密度函数结构分析及相关概率的求解]

例4 设[X～N（μ，σ2）]，且总体密度曲线的函数表达式为：[f（x）=12πe-x2-2x+14，x∈R].

（1）求μ，σ；

（2）求[P（x-1<2）]及[P（1-2