概率统计与经济学初识

李昱筱

摘 要：概率与统计，求方差与期望，是高中数学一个非常实用的知识点。在高中学习中，对于方差与期望的认识相对抽象，有时并不好理解，然而概率与统计的知识可以说是现代经济学的理论基础。在高中阶段就在概率与统计方面打下良好的基础，对于未来大学学习会产生很重要的帮助。本文就高中数学中的概率与统计相关知识为展开，简述了概率论、统计方法，期望与方差的应用，同时简要的介绍了现代经济学的部分内容。

关键词：概率；统计；期望与方差；经济学

一、引言

数学作为一门最基础的自然科学，它作为一种基础的工具应用于大部分自然科学的研究之中，数学的发展与突破促进着现代科学的进步，同样科学领域的突破也作用于数学的发展。作为社会科学领域的经济学，以其研究对象的独特性质也与数学产生了千丝万缕的关系。经济学作为一门研究价值的生产、流通、分配、消费的规律的科学，它对数学的依赖性可见一斑，数学对经济学的发展起到了巨大的贡献作用，但随着现代经济学的日趋发展成熟，它对数学的反哺作用也日趋明显，也伴随产生了统计学、模糊数学等数学的分支学科。但是，在分析数学与经济学的关系中，数学虽然重要，也要注意数学在经济学中依然是工具，我们既合理的掌握应用数学知识但也不能将其偏颇的凌驾于经济学之上。

二、概率与统计

作为高中数学涉及较晚的一项内容，概率与统计已经随着现代科学的发展，成为了一个数学独立的分支而存在。它是被应用于研究和解释随机现象的统计规律性的一门学科。我们日常生活中，尤其是在经济生活中所遇到的很多涉及到计算的问题，其实大都属于概率与统计的问题。数学统计是研究这一类规律性现象的，这与另外一些自然学科的必然性截然不同。首先，因为概率统计的条件和达成的结果之间有时并不是必然的联系，即在同一情况下，可能会发生某一结果，也可能发生另一结果。这就要求研究者在精确的数学分析之上还要充分结合经济上规律进行细致的分析与预估。

关于概率论的讨论，最初是由数学家帕斯卡和费马在相互通信中展开的。那时概率的明确概念还没有被提出，但他们的讨论中已涉及到早期古典概率的概念，最初概率与数学期望等基本概念的雏形、性质和相应的计算方法都在这样的讨论中逐步确定了下来。可见，概率与统计在当时就展现出了它作为具有特定研究对象的独立学科的潜质。

我们日常生活中最常接触的一类概率问题就是等可能性事件问题，即某件事包含基本事件m个，基本事件总数为n，那么这一事件A的概率计算为：

P（A）==

例1.从一个总体含有50人的班级，随机选择5名同学做一个问卷调查，以简单随机抽样方式从中抽取，则指定的某人被抽到的概率为多少？

P===0.1

上述列举的就是一个最简单的等可能事件即古典概率事件。

三、期望与方差

期望与方差作为常用随机变量的两个重要数字特征，是对变量的一种理性地数理分析，在经济学中，分析风险预估收益的一种重要参考标准。

1.期望

若X为离散型随机变量，其概率分布为P（X=xk）=pk （k=1，2…），则称和数

x1p1+x2p2+…+xkpk+…=xkpk

为随机变量X的数学期望，通常简称期望，记为E（X）即

E（X）=xkpk

若X为连续型随机变量，其概率密度为f（x），则X的数学期望为

E（X）=xf（x）dx

期望体现出了随机变量取值范围的真正的“平均”，因此在对于不确定性因素的分析中，期望体现出了其极大地作用。

2.方差

方差是对期望的进一步分析，是函数f（x）=[X-E（X）]2的期望，因此，离散型、连续型随机变量的方差可统一为

D（X）=E[X-E（X）]2

方差揭示了X的取值偏离期望值E（X）的程度，在经济学当中，对于风险分析和收益预估有着极其重要的作用。方差的计算经常用到简化公式：D（X）=E（X2）-[E（X）]2

3.期望与方差在投资分析时的应用

通过一道实际问题来体现期望与方差在实际经济应用中的解决，我们可以更直观的感受期望与方差的在经济决策与分析中的应用。如现在相对比较火的投资项目基金为例，如将一笔闲置资金投入到三个不同的盈利基金中，设为基金A、基金B、基金C。

不同的基金收入不同，同时又与经济形势和投资领域有关系。假设对应的经济形势可粗略的分为好、中、差三个级别，发生的概率分别为 P好=0.2，P中=0.7，P坏=0.1

根据各基金的数据参考可得到不同级别状态下各基金的收益概率分布如下表：

[＼& P好=0.2＼&P中=0.7＼&P坏=0.1＼&基金A＼&11＼&3＼&-3＼&基金B＼&6＼&4＼&-1＼&基金C＼&10＼&2＼&-2＼&]

此时，我们该如何投资才能获得比较好的收入呢？

解：首先通过计算三个基金的数学期望

E（A）=11×0.2+3×0.7+（-3）×0.1=4

E（B）=6×0.2+4×0.7+（-1） ×0.1=3.9

E（C）=10×0.2+2×0.7+（-2） ×0.1=3.9

方差：

D（A）=（11-4）2×0.2+（3-4）2×0.7+（-3-4）2×0.1=15.4

D（B）=（6-3.9）2×0.2+（4-3.9）2×0.7+（-1-3.9）2×0.1=3.29

D（C）=（10-3.2）2×0.2+（2-3.2）2×0.7+（-2-3.2）2×0.1=12.96

通过分析离散型随机变量的期望可知，投资基金A的平均收益最大。但投资的同时也要注意风险，这时通过对它们各自方差的分析，方差越大，风险的波动越大。这样比较看，基金B的风险最小，同时收益上又比基金A相差较小，所以选择基金B来投资更加合理。

四、数学与经济初识

可以看出，经济学从它诞生到发展，数学都在其中起着重要的作用，数学使经济学的研究变得清晰、精确、严密，并加速了经济学的发展。但如果在经济研究中片面的强调数学的作用，就会丧失经济学的本质，甚至会导致我们误入歧途。

经济学作为一门科学，是一个有机的整体，它研究的是人类社会当中众多经济活动和与其相对应的经济关系，和其中的运行、发展的规律。其实，经济学以资源的优化配置为核心的，目的在于将资源做出最大化的利用。在经济学的发展过程中，初见产生了微观经济学和宏观经济学两大重要分支。经济学被认为起源于古代经济思想，以及逐步产生的早期经济学思想，在经过现当代诸多经济学家亚当·斯密、马克思、凯恩斯等的完善与发展，经济学逐步建立起完整统一的理论体系，经济学的实际应用由最初的政治经济学向科学的经济学发展，成为一门复杂而具体的科学门类。