参与数学证明，建构数学模型

伍晓艳

一、教学内容

《义务教育教科书数学》（人教版）六年级下册第70页、第71页例1、例2

二、教学背景

《抽屉原理》是人教版六年级数学下册数学广角中的教学内容。“抽屉原理”在生活中有广泛的应用，学生也会常常遇到实例，但并不能有意识地从数学的角度来理解和运用。因此能够发现数学规律并参与证明，建立数学模型是本课的重点。教材中例1介绍了简单的“抽屉原理”，意图是让学生发现这样的一种存在现象。教材中呈现了两种思维方法：一是枚举法，罗列了摆放的所有情况。二是假设法，用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。通过例1两个层次的探究，让学生理解“平均分”的方法能保证“至少”的情况，能用这种方法在简单的具体问题中解释证明。例2在例1的基础上说明：只要物体数比抽屉数多，总有一个抽屉里至少放进（商+1）个物体。例2的目的是使学生进一步理解“尽量平均分”，能用有余数的除法算式表示思维的过程。

三、设计理念

本课设计从培养兴趣入手，让学生从游戏开始，带着疑问进入课堂，为探究抽屉原理埋下伏笔。接着鼓励学生自主探究，在观察、操作、讨论、交流、猜测、归纳、分析和整理的过程中，经历问题的提出、概念的形成和结论的获得的过程，初步经历“数学证明”的过程，逐步提高学生的逻辑思维能力，并能够从中感受到学习的乐趣，并主动地去探求知识，发展思维。

四、教学目标

1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。通过观察、发现、猜测、验证、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律，渗透“建模”思想。

2、经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

3、通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。

教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。

教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

五、教学过程

（一）预言激趣，导入新课

（出示扑克牌）

同学们，魔术师常用扑克变魔术，老师可不會变魔术，不过，老师可以作出“预言”，你们相信吗？请看，这有一副完整的扑克，有54张，从中取出大、小王，还剩52张，现在请5名同学来，每人抽出1张牌，别让老师看见！请看老师的“预言”：

（课件显示）至少有2张牌是同花色的。

请5位同学亮出你们的扑克牌！我的预言正确吗？（在交流中理解“至少”的含义，即总能找到不少于2张牌的花色相同）

你们想知道其中的奥秘吗？希望在这节课的研究中，你们能发现其中秘密，学完之后，你也能成为“预言家”，有信心吗？

【教学情景的创设，不仅要激发学生的学习积极性，更要重视情景导入的实效性。本节课扑克游戏中的“预言”，其实就是一个能真实反映“抽屉原理”本质的现象，不单单只起到导入新课的作用，更重要的是要为本节课的学习做好铺垫。这节课最大的难点在于理解和准确描述“抽屉原理”。怎样让学生在理解的基础上自然而然地来运用它呢？突破了这一点，后面的教学才能顺利地展开。于是，我就通过“预言”，帮助学生理解 “至少”这个关键词，为后面的教学做好铺垫。游戏结束，告诉学生，这个游戏蕴涵着有趣的数学原理叫做“抽屉原理”。学生带着疑问进入学习，激发了学生探究的兴趣和学习积极性。】

（二）动手操作，初探原理

1.（课件出示）聪聪的发现：

将3支笔放到2个笔筒，不管怎么放，总要一个笔筒里至少放2支笔。

是这样吗？请你们试试。

（学生自己操作）

谁来说说你是怎么放的？（根据学生叙述课件显示，并在黑板上作出记录）

观察我们记录的结果，聪聪的发现正确吗？

【这一环节把复杂的抽屉问题采取化繁为简的方法，用笔和笔筒来研究。从最简单的数据入手，采用列举法，让学生把3支笔放入2个笔筒的情况一一列举出来，初步感知抽屉原理。】

2.我们的发现（例1）

将4支笔放到3个笔筒里，会是怎样的呢？请同学们放放看，有几种不同的放法？看你有什么发现，在研究过程中，别忘了记录自己的摆放结果。

（教师巡视，了解情况，个别指导）

谁来展示一下你摆放的情况？（指名摆）根据学生摆的情况，师板书各种情况。

（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1），

通过刚才的摆放，你发现了什么？

不管怎么放，总要一个笔筒里至少放2支笔。

“总有”是什么意思？（一定有，一定能找到）

“至少放2支”什么意思？（不少于2支，可能是2支，也可能是多于2支，就是不可能比2支少）

同学们，我们做个假设，假设少于2支，那最多是几支？结果会怎样？（引导学生用假设法说理）

假设少于2支，那最多是1支，就算每个笔筒都放1支，3个笔筒最多能放3支，还有1支，总会放进某个笔筒，那这个笔筒就放了2支。所以，总有一个笔筒至少会放进2支笔。

这种假设法也能验证我们的发现是正确的。请你试着用这种方法再说说。

你能用这种方法验证聪聪的发现吗？（3支放进2个笔筒）

假设少于2支，那最多是1支，就算每个笔筒都放1支，2个笔筒最多能放2支，还有1支，总会放进某个笔筒，那这个笔筒就放了2支。所以，总有一个笔筒至少会放进2支笔。

【在学生初步感知的基础上，激发学生通过实际操作进一步探究抽屉原理，进而引导学生利用假设法说理。学生的思维水平自然地得到提升，让学生体验用不同的思维方法进行“数学证明”。】

（三）  用“平均分”来演绎“抽屉原理”

同学们太棒了，“至少”就是要保证笔筒里的笔尽量少，那怎样放就能保证笔筒里笔最少？请同学们讨论一下？

1.交流之中得出方法

要想使笔筒里笔尽量少，那就要尽量分散。

怎样才能尽量分散？（及尽量平均分）。将4支笔平均放在3个笔筒里，每个笔筒放1支，还剩1支总要放进某个笔筒，那这个笔筒就放进了2支。【在学生能简单进行描述的基础上，引导学生理解抽屉原理的一般化模型。先让学生探讨：怎样放就能保证笔筒里笔最少？从而得出把笔尽量的“平均分”到各个笔筒中，看每个笔筒中能分到多少支笔，剩下的笔不管放到哪个笔筒中，总有一个笔筒比平均分得的笔多1支，接着引导学生用有余数的除法来表示这一数学规律。在大量列举之后，帮助学生建构这一类“抽屉问题”的模型】。