在小学数学教学中培养学生的类比推理能力

刘德宏

（射阳县教育局教研室，江苏 盐城 224300）

推理能力是《义务教育数学课程标准》提出的十个核心概念之一。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习、生活中经常要使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理两种形式。[1]类比推理是合情推理的重要形式之一，它是由两个或两类思考对象在某些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也可能相同或相似的思维方式。[2]类比推理是在比较的基础上，从特殊到特殊的推理,它是引发猜想、发现结论的有效途径，是培养学生创新意识的重要方法。因此，在小学数学教学中，必须高度重视类比推理能力的培养。

一、类比推理的主要形式

1.外部形式上的类比

根据数学对象表面上的相似而进行的推理，是一种从形式到形式的类比，这种类比得出的结论或然性较大，但有助于学生对知识的理解。比如，学习了长方形的面积=长×宽，就会自然地想到正方形的面积=边长×边长，学习平行四边形面积时，也可能想到平行四边形的面积=底×邻边，但这个结论是错误的结论。

2.内在实质上的类比

通过比较分析数学对象之间的实质性的内在联系而得出的推理，这种推理根据两类对象在本质属性方面的相似之处，类推出其他方面的相似，从而认识新数学对象的本质，因此，得出结论的正确性相对较高。比如，在学习比的基本性质之前，学生已经掌握了分数的基本性质，而且在这一知识的探究过程中，已经与商不变的规律进行了实质性的比较与联系。学生认识了比的意义，知道了比的实质是两个数相除，比也可以写成分数的形式。因此，可紧紧抓住比与分数、除法的关系，引导学生根据分数的基本性质、商不变的规律，自然类比出比的基本性质。教学中，教师要激活学生已有知识，引导学生进行新旧知识的比较，找出新旧知识在本质上的一致性，从而主动进行知识的迁移，建构出新知识。

3.过程方法上的类比

数学教学要重视让学生经历知识的形成过程，获得深刻的探究体验，感悟数学思想方法，积累思维活动的经验，促进技能方法的迁移。如，五年级学生在学习“圆的面积公式推导”时，把一个圆平均分成若干个小扇形，拼成一个近似的长方形，从而推导出圆的面积公式。经历了这样的过程，掌握了这样的推导方法，学生在学习“圆柱体积公式推导”时，就自然地想到把圆柱的底面等分成若干个扇形，再沿着半径切开，将圆柱拼成一个长方体，从而可以推导出圆柱的体积公式。这就是过程方法上的类比。

二、培养类比推理能力的教学策略

1.探寻本质联系，搭建类比支架

数学知识之间有着密切的内在联系。在学习新知时，要求学生头脑里具备同化新知识的上位概念或相似概念，类比推理才能顺利进行。因此，教师要充分激活学生的已有知识，寻找维系新旧知识的主线，探寻新旧知识的内在联系，在最近发展区为学生搭建类比的支架，为实现知识迁移、进行类比推理打好基础。如，学习“异分母分数加减法”，其本质上的根源知识，就是“相同数位上的数，才能直接相加减”这一计算原理，这就是维系知识联系的主线，也就是类比的支架。学生在学习整数、小数、同分母分数加减法时，已经形成了这种计算认识，积累了这种计算经验。因此，在教学时，可以先设计一组整数、小数、同分母分数加减法练习，引导学生归纳出计算过程背后隐含的共同核心要素——“相同数位上的数，才能直接相加减”。学生受这个计算原理的启发，就能类比尝试，将异分母分数转化成同分母分数，实现计数单位相同，直接相加减。归纳出异分母分数加减法的法则后，再次进行新旧知识的对比，以凸显出此类计算的共同点，强化新旧知识之间的本质联系。这样的类比教学活动，促进了学生对知识的深刻理解，构建了比较完善的知识结构，培养了学生的创造性思维。

2.基于生活原型，启发类比抽象

现实生活中的实物原型往往会启发人们展开类比联想，引发猜测，获得灵感，构造数学模型，抽象概括出数学概念。小学生的思维以直观形象思维为主，现实生活中的实物原型对学习新知识有很大的启发作用。因此，从原型启发，展开类比学习，显得尤为重要。例如，教学“认识线段”时，让学生两手捏住毛线的两端，绷紧拉直，形成了线段的实物原型，进而有机地揭示出线段的本质属性。教学“认识平行”时，让学生观察跑道线、操场上的双杠、秋千架上的两根立柱，再根据实物原型，画出三组直线，抽象出共同点——永不相交，从而概括出平行线的定义。教学“角的认识”时，引导学生观察剪刀图、钟面上的时针和分针组成的角、五角星等实物图，再抽象出“角”。

这种基于生活原型，展开类比抽象的方式，符合小学生的认知规律，能够促进学生从实物原型中受到一些原理性的启发，实现生活原型与数学对象之间的思维直接对接[3]，从而在类比中积累一定的经验，有机地进行数学抽象，主动建构出数学概念。

3.鼓励联想猜测，实现直觉类比

联想与猜测都是类比推理常用的方法，类比的实质是一种联想。教学中，要启发学生找出新旧知识之间的相似性和本质联系，展开联想，大胆猜测，凭借直觉，进行类比推理。可以是知识的联想类比（包括概念、关系、性质、定律、法则等），也可以是思想方法的类比联想，还可以是解决问题思路与方法的联想类比。

如，教学“体积单位”时，根据度量面积的大小需要统一面积单位，联想到度量体积大小也要统一体积单位，并由1平方厘米、1平方分米、1平方米这三个常用面积单位联想到1立方厘米、1立方分米、1立方米这3个常用体积单位；[4]在学习“等式的性质”时，由“等式的两边同时加上或减去同一个数，仍然是等式”联想猜测到“等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），仍然是等式”，从而完善了等式的性质；学过加法的交换律和结合律后，能够联想猜测到乘法的交换律和结合律。这些都是知识之间的联想类比。

由于分数问题与百分数问题在数量关系和问题结构上的一致性，因此，就能由解决分数问题的思路与方法联想类推到解决百分数问题的思路和方法；由行程问题中的“速度和×相遇时间=总路程”这一数量关系式类推到工程问题中去，得到“工作效率和×工作时间=工作总量”这一数量关系。[5]这样的类比教学，将解决两类问题的思路与方法有机地联系起来，有效地实现了思路与方法的迁移，形成了更加完整的认知结构。

教学中，教师要为学生提供联想猜测的机会，引导学生观察思考、联想猜测，借助直觉，类比发现，从而培养学生的创新意识。

4.利用数形结合，促进类比迁移

数与形是数学研究的两个对象，借助图形描述数式，利用数式解释图形，这样的数形类比，能够启迪思路，发现规律，培养学生的创造性思维。[6]

例如，计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。解题时，先让学生尝试计算，然后引导学生观察图形（参见图1），发现规律，最后再利用规律，简便计算。这样的解题过程，将数转换成形，学生受到图形的启发，进行数形类比，能够发现“从1开始，连续奇数相加的和，等于奇数个数的平方”这一数学规律，最后利用发现的规律，简便地算出了得数。数形类比的确起到了化繁为简，化抽象为直观，启迪解题思路、发现数学规律的作用。

图1

再如，教学时，学生往往想到先通分再计算，如果按照这样的数字规律，再连加几个分数，就显得麻烦了。教师启发引导学生将数式转换成图形，展开数形类比，能够发现规律（参见图2）。用一个大正方形表示1，在正方形中分别表示出，学生受到图形的启发,容易发现发现了这样的规律，再让学生利用规律，计算学生根据经验类比，容易得出前1道算式结果为1－后1道算式结果为可见，这样的类比教学活动，以形解数，化繁为简，有效地培养了学生的创新意识。

5.重视验证修正，减少类比失误

类比推理是一种合情推理，它是根据新旧数学对象之间的相似性，类推得出的结论，但其结论具有或然性，未必全部正确，有时会出现形式主义错误。如，学生根据a-b-c=a-（b+c）类推出a÷b ÷c=a÷（b×c）,（b、c都不等于0），这个结论是正确的，但根据a×b+a×c=a×（b+c）类推出a÷b+a÷c=a÷（b+c）,这样的结论就是错误的。解答“女生人数比男生人数多男生人数比女生人数少几分之几？”这道题目时，学生会错误地以整数计算的经验，得出“女生人数比男生人数少”这一错误的结论。学习“平行四边形的面积公式”时，学生往往根据长方形的面积=长×宽，错误地类推出平行四边形面积=底×邻边。

图2

出现上面的错误，究其原因，没有深刻理解数学对象之间的内在关联，没有找到本质上的联系，且没有经过检验。为防止学生乱用类比造成错误，提高类比结论的可靠性。教师要重视培养学生检验修正的良好习惯，学会举例验证猜想，用反例揭示猜想中不合理的部分，逐步修正完善，以提高类比推理结论的正确性。如，教学“3的倍数的特征”时，学生往往根据2、5的倍数的特征，就看个位，轻易得出：个位上的数是3的倍数，这个数就是3的倍数。显然，这个结论是错误的。教师可引导学生用13、16、19、23、26、29等反例来验证，说明猜想是错误的。接着，再引导学生观察百数表中的3的倍数，发现这些数个位和十位上数的和都是3的倍数，于是又做出猜想：如果一个数各个位上数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。最后再让学生举出不同的三位数、四位数，甚至五位数、六位数，并且及时用计算器进行验证，得出第二次猜想是正确的，从而发现3的倍数的特征。学生经历了类比猜想→举例推翻猜想→再次猜想→验证猜想→得出结论的过程，获得的体验会更加深刻，对特征的理解也会更加自然透彻。

类比推理可以获得猜想，发现结论，要使结论具有可靠性，还要与演绎推理有机结合，进行猜想的验证、结论的证明，从而提高类比推理结论的正确性。例如，在教学“圆面积计算公式的推导”时，先引导学生将一个圆等分成若干个扇形，然后拼成一个近似的长方形，再通过比较，找出长方形面积、长、宽分别与圆面积、周长、半径之间的关系，在此基础上，做出猜想，然后以下面的形式，有条理地推导出圆面积计算公式。

上面的探索过程，既应用了类比推理，也体现了类比推理与演绎推理的有机结合，保证了结论的可靠性。

类比推理是一种创造性推理，无论对学生今天的学习，还是与他们今后的工作及生活，都具有十分重要的作用。作为教师，要将类比推理能力的培养有机地融合在数学教学的整个过程之中，落实到数学课程的四个内容领域之中[7]，通过观察、实验、猜想、验证等多样化的数学活动，逐步实现推理能力的发展目标，努力提升学生的数学素养。▲

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2][3]顾晓东.小学数学教材中的类比推理及教学策略[J].教学与管理，2015（20）：39-42.

[4][5][6]刘德宏.重视类比教学发展数学思考[J].教学实践与研究，2013（8）：79-80.

[7]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.