用一元一次不等式（组）解决实际问题

陈东进

一元一次不等式（组）是解决实际问题的有效工具. 在实际学习中同学们会感觉比较困难，原因是多方面的：一是题目较长，涉及数量较多，不易理解；二是找不准不等关系；三是不会根据实际意义求出满足条件的结果. 其中最容易导致错误的是找不出不等关系. 应用一元一次不等式（组）解决实际问题的关键是找准不等关系. 而找准不等关系的前提是审题，在审题的过程中要挖掘出隐含的不等关系. 所以用一元一次不等式（组）解决问题应遵循如下基本步骤：

（1） 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的“关键字眼”如“大于”“小于”“不小于”“不大于”等的含义；

（2） 设：设出适当的未知数；

（3） 列：根据题中的不等关系，列出不等式；

（4） 解：解出所列不等式的解集；

（5） 答：写出答案，并检验答案是否符合题意.

例1 王女士看中的商品在甲、乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不同.在甲商场一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠，在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？

【分析】此题中的不等关系是“甲商场购物的金额<乙商场购物的金额”.题目中要求的“多少元”是指商场中商品的标价，而在算甲商场比乙商场优惠时计算的是王女士的实际花费，理清关系可列不等式进行计算.

解：设她在甲商场购物x元（x>100）就比在乙商场购物优惠.根据题意，得

100+0.8（x-100）<50+0.9（x-50），

解这个不等式，得x>150.

答：她在甲商场购物超过150元就比在乙商场购物优惠.

例2 甲以5 km/h的速度进行有氧体育锻炼，2 h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲. 根据他们两人的约定，乙最快不早于1 h追上甲，最慢不晚于1 h 15 min追上甲. 乙骑车的速度应当控制在什么范围？

【分析】首先从题目中我们可以发现两个表示不等关系的关键词语“不早于”和“不晚于”， “不早于”可理解为“不少于”， “不晚于”可理解为“不多于”. 然后，可以根据题意写出两个不等关系式：乙1 h骑车的路程-甲1 h走的路程 ≤5×2，乙1 h 15 min骑车的路程-甲1 h 15 min走的路程≥5×2，这样，列出不等式组，问题就迎刃而解了.

解：设乙骑车的速度为x km/h，根据题意，得x-5≤5×2，

1.25x-1.25×5≥5×2.

解不等式组得：13≤x≤15.

答：骑车的速度应当控制在13 km/h到15 km/h这个范围.

例3 现有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住，若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，求住宿人数和宿舍间数.

【分析】首先在读题过程中，找出体现住宿人数和宿舍间数关系的句子，即“每间住4人，则还有19人无宿舍住”，从而确定“住宿生总人数=4×宿舍间数+19”；同时理解体现不等关系的句子，即“则有一间宿舍不空也不满”，理解“不空”与“不满”的意义，在此基础上，表述不等关系式为“0<不空也不满的那间宿舍的人数<6”. 此时，问题的焦点转化为如何表示没住满宿舍的人数，不难发现“没住满宿舍的人数”可表示为“住宿总人数-住满的宿舍的人数之和”，从而可以设出未知数，列出不等式组解决该问题.

解：设宿舍间数为x，则住宿人数为4x+19，根据题意，得4x+19-6（x-1）>0，

4x+19-6（x-1）<6.

解不等式组得：9.5

∵x为正整数，∴x=10，11，12，

∴ 4x+19=59， 63， 67.

答：宿舍为10间，住宿人数为59人；或宿舍为11间，住宿人数为63人；或宿舍为12间，住宿人数为67人.

通过以上几道例题的分析，我们发现应用一元一次不等式组解决实际问题的一般思路是：

最后，请同学们记住：审题的过程就像寻宝，抓住关键的词语就如找到标志，找出体现不等关系的语句就如找到了线索，紧跟线索走就很容易找到宝藏了.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）