谈谈定比分角

易先型

一、定理描述

定比分角定理1：任意三角形ABC，以一条BC的平行线与AB的延长线相交的点D、以A为圆心，AC为半径的圆弧与BC的平行线相交的点E、点A形成三角形ADE。

重复步骤：以∠FGH=∠ABC的三角形FGH，得到三角形FIJ。如果xBC=GH，xDE=IJ，那么就有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ。

定比分角定理2：仍然以定理1的图形，如果sin∠BAC/sin∠DAE=sin∠GFH/sin∠IFJ，且∠BAC∠DAE∠GFH∠IFJ均为锐角，那么有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ。

定理1证明：据图1可得，2BC=GH，2DE=IJ，

BC=ACsin∠BAC/sin∠ABC，DE=AEsin∠DAE/sin∠ADE=ACsin∠DAE/sin∠ABC GH=FHsin∠GFH/sin∠FGH=2BC=2ACsinBAC/sinABC ，IJ=FJsin∠IFJ/sin∠FIJ=2DE=2ACsin∠DAE/sinABC，得sin∠GFH=sin∠BAC*2ACsin∠FGH/FHsin∠ABC，sin∠IFJ=sin∠DAE*2ACsin∠FGH/FHsin∠ABC；令∠BAC=x∠DAE，则有∠GFH=x∠IFJ，即∠BAC/∠DAE=∠GFH∠IFJ=x，证毕。

定理2证明：BC/DE=sin∠BAC/sin∠DAE=GH/IJ=sin∠GFH/sin∠IFJ，由定理1可知，如∠BAC、∠DAE、∠GFH、∠IFJ为锐角，则有∠BAC/∠DAE=∠GFH/∠IFJ，证毕。

二、三等分角证明

任意角∠A，在两条边的延长线上各取点B、C，使AB=AC，连结BC。

在BC上取中点D，连结AD，AD为三角形ABC的角平分线。取与BC等长的EF、FG做直角边为EF、FG的等边直角三角形EFG。在三角形EFG上做以EH、HI为直角边，且∠HEI=1/3∠FEG=15°的直角三角形EHI，H在EF的延长线上，EI=EG。取与HI等长的JK，J在AD的延长线上，与AJ、AK做直角三角形AJK，AK=AC。在KJ的延长线上取点L，使KJ=JL，连结AL。

运用定比分角定理解决尺规作图三等分任意角，据图得：CD=FG，HI=JK，∠FEG/∠HEI=1/3。

由定比分角定理1可得：∠CAD/∠JAK=1/3

∴∠BAL=∠LAK=∠KAC=∠BAC/3，证毕。

三、二倍立方证明

任意立方体ABCDEF（图省略），AB=1。取两倍AB长度的GI，做GI为斜边，GH、HI为直角边的等边直角三角形GHI。在三角形GHI上做以GJ、JK为直角边的三角形GJK，且∠JGK=1/3∠HGI=15°，GK=GI。在HI的延长线上取三倍JK长度的HL。做以IL为直角边、长度为AB的IM为斜边的直角三角形MIL。分别做以JK、JN为直角边，NK为斜边的直角三角形JNK和以HI、HO为直角边、IO为斜边的直角三角形HIO，且∠JNK=∠HOI=∠IML。取长度为IO的QR为直角边、长度为8的PR为斜边做直角三角形PQR，在QR的延长线上取长度为ML的线段RS。做以长度为NK的TU、PT为直角边、PU为斜边的三角形PTU，T在PQ的延长线上，PU=PR。取PU的中点V与PT的中点W，连结VW。以VW的长度为依据，做立方体A'B'C'D'E'F'，作图过程省略。

运用定比分角定理解决尺规作图二倍立方，据图3得：IL=3JK-HI=IL=3GIsin∠JGK-GIsin∠HGI=3GIsin∠JGK-GIsin3∠JGK=4GIsin ∠JGK^3

由定比分角定理得：∠QPR=3∠TPU

RS=3TU-QR=3JK/sinψ-HI/sinψ=IL/sinψ

又3TU-QR=3PUsin∠TPU-PRsin∠QPR=3PRsin∠TPU-PRsin3∠TPU=4PRsin∠TPU^3

∴4PRsin∠TPU^3=IL/sinψ=1，即sin∠TPU^3=IL/ 4PRsinψ=1/32∴sin∠TPU=[2^（1/3）]/4

又有三角形PWV相似于三角形PTU，PV=PU/2

∴PVsin∠TPU=2^（1/3）

∴立方体A'B'C'D'E'F'的体积=[2^（1/3）]^3=2=两倍立方体ABCDEF的体积，证毕。