圆锥曲线“中点弦”的一个判定定理及其应用

云南省滇西科技师范学院数理系　(677000)　潘继军



圆锥曲线“中点弦”的一个判定定理及其应用

云南省滇西科技师范学院数理系(677000)潘继军

定理如果MN是圆锥曲线D：f(x，y)=Ax2+By2+C=0上以点P(x0，y0)为中点的弦，弦MN的垂直平分线l的倾斜角为α，O为坐标原点，则存在点M、N关于直线l对称的充要条件是

(Asin2α+Bcos2α)t2-(2Ax0sinα-2By0cosα)t+f(x0，y0)=0①.

由于MN被直线l平分，由t的几何意义知

反之，若(1)、(2)同时成立，则有

证明:设直线l的倾斜角为α，由以上定理知存在点M、N关于直线l对称的充要条件是

由题意知sinα·cosα≠0，所以

所以直线l与D的对称轴不平行时，存在点M、N关于直线l对称的充要条件是

由已知条件A>0，B>0得Ak2+B>0，所以

下面举例说明以上结论在高考题中的具体应用.

图1

(Ⅰ)求实数m的取值范围；

(Ⅱ)求ΔAOB面积的最大值(O为坐标原点)．

(Ⅰ) 过点A(2，1)的直线l与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程.

(Ⅱ)过点B(1，1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且B点是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

图2

(Ⅱ)过F的直线与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P、C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

由于PC⊥AB，所以直线PC的方程为y-n=

±1.

所以直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.

析证:显然MN⊥x轴不可能；若MN∥x轴，则弦MN的垂直平分线l为y轴，这时x0=0，显然有