利用数学建模思想 提高数学应用能力

任玉良

摘要：教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿）》把数学建模纳入了内容标准中，明确指出“高中阶段至少应为学生安排一次数学建模活动”，这标志着数学建模正式进入我国高中数学，也是我国中学数学应用与建模发展的一个里程碑。当前课改新观点指出：让学生了解数学的实际应用，从而激发学生学习数学的兴趣。本着“以学生为中心，以问题为主线，以培养能力为目标”的指导思想，特立专题“数学建模活动课程的实践研究”。

关键词：数学应用问题；建模研究

中学阶段，从考试中反映出学生在解决应用问题时困难较大，对所学知识不能灵活应用；而且学习过程中，学生对于统计与概率、数列、线性规划等应用性内容不能充分理解，仅停留在死记硬背，避重就轻的层面。迫于传统观念的束缚和升学考试的压力，重书本知识传授，轻实践能力培养；重学习结果，轻学习过程；重教师的讲授，轻学生的探索；重视考试成绩，忽视整体素质提高等弊端依然在教学实践中普遍存在，从而使学生学习数学的积极性减弱，理论联系实际应用意识、获取信息和资料的能力、创新能力等明显下降。

新课程倡导民主、开放的课程理念。在数学教学活动中，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分参与数学活动的机会，有效提高学生学习数学的兴趣，并培养学生的理论联系实际应用意识，获取信息和资料的能力，创新能力等。

新课标下新颖的数学建模教学模式应运而生，可以解决上述问题，这也是我们数学教师值得探索的课题。本课题以新课程的课堂教学方式改革为背景，运用数据分析、模型分析、对比检验等方法，对建模教学进行探讨性研究。因此在呼唤“素质教育”的今天，数学建模活动课程的实践研究更是迫在眉睫。

一、创设情景教学，体验数学建模

例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

这是一个典型的利用数学建模解决实际问题的例子，所谓数学建模的确切含义尚无定论，但专家们比较趋于一致的看法就是將实际问题中事物的内在联系与变化抽象成数学语言，构建适当的数学关系（如公式、函数、方程或图形），使原来的问题情境转化为易于解决的数学问题的一种数学思想.用于解决实际问题时要注意两个步骤：一是建模（建立数学模型），二是解模（运用有关知识求解数学模型）.而高中学生由于掌握的数学知识非常有限，所能学到的数学模型也不多，但数学建模作为一种重要的数学思想方法，高中学生是非常有必要去了解它重要性，知道它的作用，逐步形成数学建模意识，并能养成用数学建模去解决一些实际问题，提高数学应用能力.当然，一个人意识的形成不是一朝一夕的，需要经过长时间的培养和强化，培养学生的建模意识也一样，需要教师在平时的课堂教学中不断地向学生渗透，并进行适当的强化训练，在教学中，教师可利用现行的数学教材，有针对性地研究在各个教学章节中可引入哪些数学基本模型，且创设与学生已有的数学认识发展水平相适应的问题情境，让学生体验如何应用数学建模的方法来解决实际问题 .

二、注意掌握策略，把握数学建模

解决实际应用问题的步骤是：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的；第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果；第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景。

三、通过实际应用，体会数学建模

在学习了一个知识点后指导学生用以建立相关的数学模型来解决实际问题，通过解决实际问题使学生掌握相关类型的建模方法，为他们今后能主动用数学的意识、方法、手段处理问题提供知识储备，增加数学建模的经验 使学生产生明显的意识和情感.中学数学中常见的数学建模类型大致有以下几种：

1、函数模型。在生产生活中普遍存在成本最低、利润最高、产出最大、效益最好、用料最省等应用问题，可以归结为函数的最值问题，常常建立函数模型来求解.

例2、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入

100元，已知总收益满足函数：

，其中x是仪器的月产量。

（1）将利润表示为月产量的函数f （x）。

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？

（总收益=总成本+利润）

函数作为研究现实世界中变量之间关系的的模型，对于高中学生来说是比较抽象和难懂的，但是在解决实际问题时很有用，所以，教师在教学中一定要注重函数基础知识的落实，注重函数与现实生活的结合.使学生具有扎实的基础知识用以建模来解决实际问题

2、方程或不等式。在实际生活和生产中常出现有关行程、路程、工程、统筹安排、最佳决策、最优化问题等方面的应用题可建立方程或不等式模型求解

例3、设有两座铁矿山A、B，另有三个炼铁厂甲、乙、丙需要矿石，各矿日产量和各厂日需量及对应的运价（元）如表5.18给出，问怎样调运送矿石才能使总费用最小？

铁矿山 炼铁厂 产量

甲 乙 丙

A 6 9 12 60

B 1 3 3 45

矿石需求量 50 30 25 105

方程和不等式是高中数学两个最基础的知识点，也是两个很重要的数学模型，很多的实际问题都可以用这两个数学模型来解决

3、三角模型。用三角函数的知识能确定安全范围内所满足的条件，如：河宽、山高、建筑物的高度测量等，特别是在以方位为基准建立坐标系时的有关计算问题的解决中，非常有用

例4、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=. 求A、B两点的距离（精确到0.1m）.

三角函数主要是对三角形的边角关系进行研究，在涉及到三角形的边角关系的实际测量问题时，建立三角模型，利用边角转换进行计算得到所需的数据，在解决实际问题时往往有特别好的效果.

4、统计概率模型。统计、概率与现实生活密切联系，模型很多，学生可以通过实践活动来学习数据处理的方法，建立相应的数学模型，并进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考

例5；在一批产品中80%的合格品，驗收这批产品时规定，先从中任取一个，若是合格的就放回去，然后再取一个若仍为合格品，则接受这批产品，否则拒收。求（1）验收第一个产品为合格品且第二个产品为次品的概率？（2）这批产品被拒收的概率？

统计和概率模型可从看似杂乱的数据整理出所需要的信息，并解决实际问题，让学生体验到数学在解决实际问题中的威力，激发他们学习数学的兴趣和积极性.

5、数列模型。现实生活中存在很多的数列模型，让学生充分感受到数列是来源于生活反映现实生活的模型。

例6.某家用电器一件现价2000元，实行分期付款，每期付款相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，约定月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？

在实际问题中，若明显含有或隐含等量、等额、均匀变化等含义的关键词和语句，可以考虑用等差数列建模解决；若明显含有隐含倍数、百分比、比率变化等含义的关键词和语句，可以考虑用等比数列建模解决；

以实际问题的解决作为载体，并结合高中数学中常见的数学模型，通过建立数学模型来解决实际问题，让学生体验到解决数学应用题并不是无章可循.可以经过对实际问题的进行分析——将实际问题数学化——建立数学模型——经数学方法求解——回归到实际问题——求出实际问题的解等几个步骤来解决.让学生在数学的学习中知道数学模型的作用，体验数学建模的数学思想。