圆的切线和切点弦方程的公式求法

张立中

【摘 要】圆的切线方程除一般的解法外，本文探索一种利用公式法求圆的切线方程，并就圆的切线方程和切点弦方程的关系进行了探讨，其中不乏解题的方法和技巧。特别是有了公式，不仅丰富了圆的切线方程的解题方法，更大的价值是可以利用计算机编程求解圆的切线和切点弦方程，这是传统解法所不能完成的。

【关键词】圆 切线方程 切点弦方程 关系探讨

1 圆的切线的求法

圆的切线方程的求法，除一般解法外，本文探索一种公式法求切线，使求切线的方法更加完美。

定理：已知点p（m，n），圆C：（x-a） 2+（y-b）2=r2。当p（m，n），在圆C上时，过p的切线方程为：（m-a）（x-a）+（n-b） （y-b）= r2

当p（m，n）在圆C外时，若│m-a│≠r时，过点p的两条切线的斜率为：

若│m-a│= r时，过点p的一条切线的斜率不存在，切线方程为x=m，

另一条切线的斜率为：

证明：1）当p（m，n）在圆C上时，易得过p的圆的切线方程为：（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）= r2。2）当p（m，n）在圆C外时，（m-a）2+（n-b） 2>r2。设过P与C相切的直线的斜率为K，则有：y-n=k（x-m）即：kx-y-mk+n=0

由于圆心到直线kx-y-mk+n=0的距离等于圆的半径，得

即：

两边平方，整理得[ （a-m）2-r2]k2+2（n-b）（a-m）k+（n-b）2-r2=0 （*） 若│m-a│≠r时，△=4r2[（m-a）2+（n-b）2-r2]， 所以

。特别地，当a=b=0时

若│m-a│=r时，一条切线的斜率不存，切线方程为x=m，另一条切线的斜率由方程（*）式得。 特别地，当a=b=0时，

例1：从圆（x-1）2+（y-1）2=1外一点P（2，3）向该圆引切线，求切线方程。

解∵a=b=1，r=1，m=2，n=3，且│m-a│=r ∴ 圆的一条切线为x=2，

另一条切线的斜率由公式 得K==

所以，另一条切线为y-3= （x-2） 即3x-4y+6=0

例2 ：已知圆C：（x-a）2+（y+3）2=9及圆外一点P（2，2），求过点P的圆的切线方程。

解∵a=2，b=-3，r=3，m=2，n=2 且│m-a│≠r

∴由公式 得k=±

∴圆的切线方程为y-2=±（x-2） 即 4x-3y-2=0 或 4x+3y-2=0

2 切点弦方程的求法

问题：从圆外一点作圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2的切线PA、PB，A、B为切点，求直线AB的方程。

解：设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则过A、B点的切线方程为：

（x1-a）（x-a）+（y1-b）（y-b）=r2 （1）

（x2-a）（x-a）+（y2-b）（y-b）=r2 （2）

由p（m，n）即在PA上，又在PB上，故有：

（x1-a）（m-a）+（y1-b）（n-b）=r2 （3）

（x2-a）（m-a）+（y2-b）（n-b）=r2 （4）

（3）（4）表明，A、B点的坐标适合方程 （x-a）（m-a）+（y-b）（n-b）=r2

故直线AB的方程为：（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）=r2

利用上述结论，可求切点弦的方程。

例3 从圆（x-1）2+（y-1）2=1外一点P（2，3），向该圆引切线，求过切点的直线方程。

解：由于a=1，b=1，m=2 n=3，根据切点弦方程（*）式可得（x-1）（2-1）+（y-1）（3-1）=1即：x+2y-4=0

3 圆的切线方程与切点弦方程的关系

根据1、2可得下面的结论：

已知圆（x-a）2+（y-b）2=r2 及点P（m，n），当P在圆上时，过P的切线方程为：（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）= r2

当P在圆外时，过P作圆的两条切线，过切点的直线方程为：（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）= r2