动点问题与函数图象

左加亭

动点问题是最近几年中考的一个热点题型，所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线上运动的一类开放性题目.

解决函数图象中的动点问题时，首先要抓住动点的瞬间状态，或者相对静止时的状态，再寻找它们的数量关系，以及几何图形的相对位置关系，做到动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.

例1 （2015黔南州卷）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（ ）

A.M处 B.N处 C.P处 D.Q处

精析 根据三角形的面积变化情况，可得R在PQ上时，三角形面积不变，可得答案.

解答 点R在NP上时，三角形面积增加，点R在PQ上时，三角形面积不变，点R在QM上时，三角形面积变小，点R在Q处，三角形面积开始变小.故选D.

点拨 本题考查了动点函数图象，利用三角形面积的变化确定R的位置是解题的 关键.

例2 （2015荆州卷）如下图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动.设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）

精析 首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1

解答 由题意可得BQ=x.①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积为BP·BQ，则y=·3x·x=x2，则A选项错误；②1

点拨 本题考查动点问题的函数图象，利用数形结合、分类讨论是解题的关键.

例3 （2015本溪卷）如图，在△ABC中，∠C=90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是（ ）

精析 首先连接CP，根据点P是斜边AB的中点，可得S△ACP=S△BCP=S△ABC；然后分别求出出发时，点N到达BC的中点、点M也到达AC的中点时，结束时，△PMN的面积S的大小，即可推得△PMN的面积大小变化情况是：先减小后增大，而且是以抛物线的方式变化，据此判断出△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是哪个即可.

解答 连接CP，如下图：

∵ 点P是斜边AB的中点，

∴ S△ACP=S△BCP=S△ABC，出发时，S△PMN=S△BCP=S△ACP.

∵ 两点同时出发，同时到达终点，

∴ 点N到达BC的中点时，点M也到达AC的中点，

∴ 此时S△PMN=S△ABC.

结束时，S△PMN=S△ACP=S△ABC.

故△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大，而且是以抛物线的方式变化，

∴△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是：

故选A.

点拨 此题主要考查两个动点问题与函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

（编辑 孙世奇）