2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟试题
2016-05-14雷小华
雷小华
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合A={x | x-10<0}，B={x | x=3n+1， n∈N}，则A∩B=
（ ）
A. ？准 B. {4， 7} C. {4， 7， 10} D. {1， 4， 7}
2. 已知命题p：？埚∈R，sin=；命题q：？坌x∈R，x2+1>x，则下列命题为假命题的是（ ）
A. p∨q B. ？劭 p∨？劭 q C. ？劭 p∨q D. p∨？劭 q
3. 复数z =（i是虚数单位，x∈R），则复数z所对应的点（ ）
A. 位于x轴上方 B. 位于x轴下方
C. 位于y轴左方 D. 位于y轴右方
4. 若函数f（x）+g（| x |）是R上的偶函数，则下列结论成立的是（ ）
A. f（x）必为偶函数 B. f（x）必为奇函数
C. g（x）必为偶函数 D. g（x）必为奇函数
5. 已知双曲线C：-=1（a>0，b>0） 的渐近线方程为y=±，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
6. 已知x，y满足约束条件x+y-1≤0，x-y+1≥0，y≥0，记z = ax+y（a>0） 的最大值与最小值分别为M与N，若M+N=0，则实数a的取值范围为（ ）
A. {1} B.[1， 2]
C.[1， 3] D.[1， +∞）
7. 执行如图1所示的程序框图输出的结果是（ ）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
8. 如图2，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1厘米），图中粗线画出的是某三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
9. 函数f（x）=x（x+a）+b（a∈R， b∈R），若方程f（x） = 0有实数根，则函数f（x）存在非负零点的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 等差数列{ an } 中，已知a1=lg2，21a1+a100=11，则a5+a6=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 以BC为直径的半圆O与直角三角形ABC共面，如图3，已知BC=2，AB⊥AC， ∠ACB=30°，点P是半圆上的任一点，设∠BOP=（0≤≤？仔），f（）=（+）·，则函数f（）的图像为（ ）
12. 已知n∈N？鄢，直线Ln：y=k（x-n2）（k>0）与抛物线Cn：y2=4n2x相交于An、Bn两点，记AnBn两点间的距离为dn，d=，则当n与k均趋向于无穷大时，d的取值范围为（ ）
A. （，） B. （，） C. （，） D. （，1）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题.每小题5分.
13. 已知{ an } 是公比为的等比数列，Sn为{ an } 的前n项和. 若S3=57，则a4= .
14. 若函数f（x） = x3+mx在x = m处的切线与x轴相交于点（2m， 0），则实数m= .
15. 我国著名数学家杨辉在《详解九章算法》一书中有计算“三角垛”（图4）物体总数的题目：“三角垛，下广，一面一十二个，上尖，问：计几何？答曰：三百六十四个. 术曰：下广加一乘之，平积，下广加二乘之，立高方积，如六而一”，意思就是：“有一个三角垛，底层每条边上有12个物体，上面是尖的（只有1个物体），问：总共有多少个物体？答案是：364个. 计算方法是：用12加1的和乘12，作为底面的面积，再用12加2作为高来乘，得到一个长方体的体积，取它的6分之1，就是这道题目的解.” 推而广之，如果用表示“三角垛”的层数，也就是底层每条边上物体的个数，用Sn表示物体总数，就得到“杨辉三角垛公式”：Sn=，用这个公式，就能很方便地算出，“三角垛”中物体的总数.
现有“正方垛”（图5）自上而下，第1层12个，第2层22个，第3层32个，…，这里仍然用n表示“正方垛”的层数，用Tn表示物体总数，则“正方垛公式”Tn=Sn+ . 化简即为Tn=，即〔12+22+32+…+n2=〕.
16. 已知函数f（x）=x2+2x+1， x≤0-log2（x+），x>0 若a 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在？驻ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c. 已知=. （1）求的值； （2）若cosB=，？驻ABC周长为（4+），求？驻ABC的面积. 18.（本小题满分12分）某城市为了解道路交通状况，工作人员在市内随机选取处路段，在某段测试的时间内记录到机动车的通行数量情况如下（单位：辆）： 147 161 170 180 163 172 178 167 191 182 181 173 174 165 158 164 159 189 168 169 （1）完成频数分布表，并作出频率分布直方图；
（2）如果机动车通行数量与道路交通状态的关系如图6，现用分层抽样的方法从“拥挤”以上的路段中抽取7处给以改造，从中选2处安装智能交通信号灯，那么阻塞路段被安装智能交通信号灯的概率是多少？
19.（本小题满分12分）如图7，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，BC=2，对角线的交点为O，面ABD绕BD向上旋转至EBD，使点E在底面的射影为AO的中点F. CG⊥面ABCD，CG=1.
（1）证明：平面EBD⊥平面GBD；
（2）求三棱锥E-BDG的体积.
20.（本小题满分12分）直线l：y=x+m（m>0），椭圆C：+=1（a>）的长轴长为4，椭圆的左右焦点分别为F1、F2 . 已知直线与椭圆相切，切点为N.
（1）求a、m的值；
（2）设M是直线l上的任意一点，当·取得最小值时，求线段 | MN | 的长.
21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=e2x-2ax.
（1）若曲线f（x）在某点（x0， f（x0））处的切线恰为x轴，试求a的值；
（2）讨论f（x）的零点个数.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目. 如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图9，AB是⊙O的直径，AB=BC，CT、ED分别是⊙O的切线，切点分别为T、D.
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若∠BAC=30°，BE=，试求切线CT的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 已知曲线C1：x=-1-t，y=2+t（t为参数），C2：x=2cos？兹，y=2sin？兹（？兹为参数）.
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t=-，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线L：2ρcos？兹+2ρsin？兹+3=0的距离的最大值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）= | x-a |-2 | x-3a |（a>0） .
（1）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；
（2）若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于，求a的取值范围.
2016年普通高等学校招生
全国统一考试文科数学模拟试题
参考答案
一、选择题
1.【答案】选D. 由A={x | x<10}，故A∩B={1，4，7}，故选答案D.
2.【答案】选B. 由p真q真可知：？劭 p∨？劭 q为假命题. 故选答案B.
3.【答案】选D. z =====i，显然实部大于零，故复数z所对应的点位于y轴右方，故选答案D.
4.【答案】选A. 由函数f（x）+g（| x |）是R上的偶函数可知，f（x）必为偶函数. 而对于g（x），可为偶函数或奇函数或非奇非偶函数.故选答案A.
5.【答案】选C. e2==1+=3，所以e=. 故选答案C.
6.【答案】选D. zmin=-a，若要M+N=0，则需a∈[1， +∞）.故选答案D.
7.【答案】选B. 直到n=5，y=32-25=7>1跳出循环. 故选答案B.
8.【答案】选A. 还原该几何体，如图10.
该几何体的体积为VA-BCD=·SBCD·h=×××7×7=， 故选答案A.
9.【答案】选C. 方程f（x）=0即为x（x+a）+b=0，即x2+ax+b=0，若有实数解，则必有？驻=a2-4b≥0，即b≤a2. 若函数 f（x）存在非负零点，则需a≤0. 从图形看出满足题意的概率为. 故选答案C.
10.【答案】选A. 由条件可得：a100=11-21lg2. 故d==（1-2lg2），所以a5+a6=2a1+9d=2lg2+9×（1-2lg2）=1. 故选答案A.
11.【答案】选A. 以CB所在的直线为x轴，以O为坐标原点建立直角坐标系. 则P（cos， sin），A（， -），由+=2=（-1， ），=cos-， sin+，所以f（）=（-1， ）·cos-， sin+=sin-cos+2=2sin（-）+2（0≤≤？仔）.
故应答案在A、C中，因0≤≤？仔，所以sin（-）∈[-，1]，故f（）∈[1， 4]，故答案选A.
12.【答案】选C. 抛物线Cn：y2=4n2x的焦点坐标为Fn（n2， 0），直线Ln：y=k（x-n2）（k>0）过定点Fn（n2， 0）. 联立直线与抛物线组成方程组，y=k（x-n2），y2=4n2x， 消元得：
k2x2-2n2（k2+2）x+k2n4=0，设An（xn ′， yn ′）、Bn（xn ″， yn ″），则：
dn=| An Bn |=xn ′+xn ″+2n2=4n2·. 故d=·，当k趋向于无穷大时，
d=<[1+++…+]=（2-）→，故的范围为，选C.
d=>[++…+]=（1-）→，故d的范围为（，） ，选C.
二、填空题
13.【答案】8.由S3==57，得a1=27.故a4=a1·（）3=27×=8.
14.【答案】0或-. f′（x）=3x2+m，故f′（m）=3m2+m，
f（m）=m3+m2，切线方程为：y-（m3+m2）=（3x2+m）（x-m），由于过点（2m，0），故有0-（m3+m2）=（3m2+m）（2m-m），解得：m=0或m=-.
15.【答案】Sn-1（或）.正方垛可化为两个三角垛，层数相差一层，故填Sn-1.
16.【答案】（-2，-），由于a+b=-2为定值，且c∈（0，），故a+b+c∈（-2，-）.
三、解答题
17.解析：（1）由正弦定理，设===k
则==…………1分
所以=…………2分
即（cosA-cosC）sinB=（sinC-sinA）cosB，……3分
化简可得sin（A+B）=sin（B+C），…………………5分
又A+B+C=？仔，
所以sinC=sinA，因此=，即=………………6分
（2）由（1）得：c=a. 由余弦定理得：
b2=a2+c2-2accosB=a2+2a2-2×a2×=2a2………8分
所以b=a，因a+b+c=4+，故a=，因此b=2.………………10分
由S△BDG=acsinB=××2×=……………12分
18. 解析：（1）
……………………………………………2分
……………6分
（2）“拥挤”以上的路段共处，用分层抽样的方法抽取7处给以改造，则拥挤、很拥挤、阻塞三路段各被抽出4条、2条、1条.用事件A1、、A2、、A3、A4表示被选中的“拥挤”路段，用事件B1、B2表示被选中的“很拥挤”路段，用事件C表示被选中的“阻塞”路段，则从这7处中选2处安装智能交通信号灯的基本事件有
（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，A4）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1，C）；（A2，A3）、（A2，A4）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A2，C）；（A3，A4）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A3，C）；（A4，B1）、（A4，B2）、（A4，C）；（B1，B2）、（B1，C）；（B2，C）共21种情况…………………………9分
其中符合要求的有（A1，C）、（A2，C）、（A3，C）、（A4，C）、（B1，C）、（B2，C）共6种………10分
所以阻塞路段被安装智能交通信号灯的概率是：P==…………12分
19. 解析：（1）连接OE、OG，由四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，BO=OD.由∠ABC=120°，BC=2，故AO=OC=，BO=OD=1…………2分
由点E在底面的射影为AO的中点F，即EF⊥面ABCD，因FO？奂面ABCD，故EF⊥FO，由EO=2FO，故cos∠FOE==，所以∠FOE=60°……………4分
因CG⊥面ABCD，CO？奂面ABCD，故CG⊥OC.在△COG中，tan∠COG===，所以∠COG=30°…………………………………6分
由EF⊥面ABCD，CG⊥面ABCD，故E，F，O，C，G共面，所以∠EOG=180°-60°-30°=90°.
由△CBG？艿△CDG得BG=DG，故OG⊥BD. 根据二面角的平面角定义可知，∠EOG即为二面角E-BD-G的平面角.
由∠EOG=90°，平面EBD⊥平面GBD………………8分
（2）由（1）可知：EO平面BDG，OG==2……………………9分
故三棱锥E-BDG的体积VE-BDG=S△BDG·OE=××2×2×=…………12分
20. 解析：（1）由2a=4得a=2………………………1分
联立直线与椭圆的方程得y=x+m，+=1，消去y得：3x2+4mx+2m2-4=0…………………………3分
由于直线l与椭圆相切，故△=16m2-12（2m2-4）=0，解得：m=±，因m>0，所以m=……………………6分
（2）椭圆的左右焦点为F1（-，0）、 F2（，0） …………7分
设M（x，x+），则=（--x，-x-），=（-x，-x-），由·=（--x，-x-）·（-x，-x-）=2x2+2x+4=2（x+）2+1.
故当x=-时，·有最小值.此时点M的坐标为M（-，）…………10分
又由方程3x2+4x+12=0可知，N（，）…………………11分
故|MN|==…………………12分
21. 解析：（1）由f ′（x）=2e2x-2a=2（e2x-a）， 故f ′（x0）=2（e2x0-a）.
故切线方程为 y- f（x0）=2（e2x0-a）·（x-x0）， 即y-（e2x0-2ax0）=2（e2x-a）·（x-x0）………………………2分
因为切线恰为x轴，故 e2x0-a=0，e2x0-2ax0=0 ………3分
消去x0，得a（1-lna）=0，解得：a=0或a=e ………4分
当a=0时，f（x）=e2x，函数 f（x）单调递增，不合，舍去，故a=e……………………5分
（2）①若a=0， 则f （x）=e2x=（e2）x， 函数f（x）无零点……6分
②若a<0，则f ′（x）>0， 函数f（x）单调递增，且f （）=
e-1<1-1=0，故f（0）=1>0仅存在唯一零点………7分
③若a>0， 则f ′（x）=2（ex-）（ex+）， 当x∈（0，lna）时，f ′（x）<0，f（x）单调递减；当x∈（lna，+∞）时，f ′（x）>0，f （x）单调递增；故函数f （x）的最小值为：
g（a）=f（lna）=e2×lna-2a×lna=a-alna（a>0）……8分
下面对f （x）的最小值g（a）作如下分析：
当a→0+时，显然g（a）=a-alna>0，
由g′（a）=-lna，当a∈（0，1）时，g′（a）>0，g（a）单调递增；当a∈（1，+∞）时，g′（a）<0，g（a）单调递减；又g（1）=1-1×ln1=1，g（e）=e-e×lne=0 ………………9分
故当a∈（0，e）时，g（a）>0，函数f（x）无零点 ……10分
当a=e时，g（a）=0，函数f（x）有唯一零点 ………11分
当a∈（e，+∞）时，g（a）<0，函数f（x）有两个零点.
综上所述，f（x）的零点个数为：①当a∈[0，e）时，f（x）无零点；②当a<0或a=e时，f（x）有一个零点；③当a∈（e，+∞）时，f（x）有两个零点 ……12分
22. 解析：（1）连接OD，则OD⊥DE …………1分
连接BD，则AD⊥BD ……………2分
因为AB=BC，所以AD=DC ………………3分
又AO=OB，所以OD∥BC ………………4分
所以DE⊥BC ………………………5分
（2）若∠BAC=30°，则∠BDE=30° ………6分
由BE=，故DB=1，AD=DC= ………8分
由切割线定理得：CT2=CD·CA=×2=6 ……9分
所以CT= ………………………………………10分
23. 解析：（1）C1：x+y-1=0，过（1，0）、（0，1）两点的一条直线 …………2分
C2：x2+y2=4，以原点为圆心，2为半径的圆 ………4分
（2）当t=-时，P（，）. Q（2cos？兹，2sin？兹） ………5分
故M（+cos？兹，+sin？兹）…………………………6分
L为直线2x+2y+3=0 ……………………7分
∴点M到直线L的距离d==|cos？兹+sin？兹+| = |sin（？兹+）+|≤1+ …………9分
即当？兹=2k？仔+，k∈Z时，d取得最大值1+ ……10分
（也可从圆心到直线的距离再加上圆的半径这一思路入手，同样可得）
24. 解析：（1）当a=1时，不等式 f（x）>1 化为│x-1│-2│x-3│>1，
当x≤1时，不等式化为x>6，无解；
当1 当x>3时，不等式化为x<4，解得3 所以f（x）>1的解集{x│ （2）由题意可得：f（x）=x-5a，x≤03x-7a，a 所以函数f（x）的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（， 0）， B（0， 2a）， C（5a， 0），三角形的面积为 |5a-|·2a= ……9分 因为三角形的面积大于，故a的取值范围为a>1 …………………………10分 责任编辑 徐国坚
