学习数学，让我们看得更远

曹一鸣 张晓旭 周明旭

访谈人：林院士，您好！我们这次对您访谈的目的主要是想请您谈谈有关中小学生学习数学的一些话题，希望您能够给现在的这些孩子一些生活、学习上的建议。我们就先从您的求学经历开始聊吧。您在福建读书时，都有哪些难忘的经历？

林群：非常高兴能和你们谈谈有关中小学生学习数学的话题，这对我来说是一段有特殊经历的回忆，也是美好的、有趣的。

上小学的时候，正好是八年抗战时期，整个大环境的局势不太稳定，不过那时候年龄小，要学的知识也不多，懂得的东西也不多。上了中学之后，尤其是到了高中，才算真正接受了比较正规的训练。上中学的时候，到了解放初期，国家对教育质量的提高比较重视，投入也比较多。我很幸运地上了福州第一中学，那是一所在全国范围内都很有名的中学，培养了不少的人才，大约培养出了十几个院士。这一方面是因为国家的改革力度比较强，另一方面是因为学校的师资水平高，对生源的要求也高。正是在这种比较严格的培养环境下，我慢慢地受到了很多启发，尤其是关于学习方法方面的。这段学习经历对我的影响是非常重大的。

我记得高中时候老师上课就挺有特点的，一堂课，老师总是在前半堂课把课讲完，接着后半堂课给我们讲讲学习的感受和方法，或者讲科学家的故事，这对我们的帮助还是挺大的。当时的那种教学方式培养了我对数学学习的兴趣，这对我的影响很大。

访谈人：您说过，不是名牌大学的学生也可以将数学学得很好，中学生也能将微积分学得很好，这些孩子都喜欢数学，自己不仅会在图书馆或者网上查阅资料学习，还很注重体会，这些都是能找到适合自己学习方法，还爱学数学的学生。看来兴趣和方法对于数学学习来说还是相当重要的，您怎么看这个问题？

林群：关于数学，表面看起来确实跟社会或者跟实际生活离得比较远，但其实你要是了解数学，你会发现这真的只是表面现象。比如现在人人不离手的手机，这后面的技术很多都是基于数学的算法和方程。我们用的手机其实可以看作是数学物化出的产物。

关于学习方法，从古至今就没有一个定论，都是因人而异的。不过学习数学确实很在意方法，而且还需要学习者的热情。你要是想学好数学，就得对它有高度的兴趣，用兴趣激发你的热情，再夸张点儿，让你朝思暮想、如痴如梦地喜欢数学。专注地学习，这一点对于数学工作者来说太重要了。有了兴趣，就得注意数学的基础性。数学的学习过程要循序渐进，每一步都要走得踏踏实实，跟盖房子一样，每一层都要盖得很牢固。最重要的是小学阶段，小学阶段比中学阶段重要，中学阶段比大学阶段重要，大学阶段比专业化阶段之后重要，越是基础的课程越重要。我在作科普讲座的时候也爱强调这点，科普讲座是要启发学生、开拓思维，但是正课也一定要上好，好好做习题也很关键。正课是让学生在直路上前进，在科普讲座上让学生了解人类发展历程中的弯曲的探索过程，也是帮助他们对正课上的一些内容增加认识。通过这些故事和经历，告诉学生要不断总结适合自己的经验方法，不断地学习，这就是正确的方法。

访谈人：您在数学科普上有过很多努力和尝试，尤其是在微积分方面。可我们都知道，现在微积分在大学是理工科学生必修的，但对于一些文科专业的学生来说就没有要求。文理科学生对于数学的这个要求就不太一样。关于文理分科这个现象，您怎么看？

林群：文科理科都很重要。文科生讲课会讲得非常好，因为文科生的思维比较宽，他们会从更广的角度去看问题。理科生看待问题就会以理论为依据，而且非常专业。但是文科不会这么讲，文科生要从故事、从思想开始讲。欧洲是先文艺复兴，后科学复兴。文艺复兴在前，文艺复兴引起科学复兴。没有文艺开道的话，文艺解放不了，科学就解放不了。

我常想，文理分科，会不会拓展理科生看问题的角度？因为理科学生看问题的角度不够灵活。有一个朋友告诉我，他读了托尔斯泰的《战争与和平》，因为《战争与和平》讲到怎么用数学。我有一个学生去了北京大学，他打电话告诉我，托尔斯泰真的讲了微积分。后来我就问他托尔斯泰为什么会讲到微积分，他说俄罗斯贵族有两个必要条件：一个是会讲法文，一个是会微积分，所以托尔斯泰应该是学过微积分的。俄国还有一个作家用“非欧几何”写小说，因为俄罗斯贵族必须学微积分。

访谈人：我们现在教学方面手段比原来多了，计算机已经非常普及，不少中小学的课堂里也都有了。我们那时候上大学老师教上网我们都学不会，现在小学生自己就会，反而学得比我们更快。像现在计算机进入中学这一现象，一方面给学生提供更多的学习资料、丰富的资源，一方面家长也会担心影响学生的学习。您觉得该怎么样来处理这样一个问题？

林群：我们现在的学生都是很好的，计算机可以帮助他们更好地自学。比如说我问个问题，他一查就知道；比如说我现在做研究，想知道特征值，他在网上一查，全世界关于特征值的文章都可以知道，从这点看还是很有用的。所以我觉得，学生如果自觉，计算机就不会对他产生负面影响。如果学生不自觉，当然就会出问题。北京大学有个学生，奥数竞赛拿了金牌，上了大学后就玩游戏，不上课，结果只好退学了。如此看来，计算机怎么用很关键，用得好有好处，尤其是中小学生，用不好就有坏处。用得好就会促进学习，如虎添翼；用不好就只会玩游戏，玩物丧志。现代技术的应用和发展是不可阻挡的，而且总体还是好的。

比如在学习微积分方面，计算机是有好处的。现在大家学习微积分，最主要的是要掌握微积分概念，计算就不要做那么多了，计算也不需要用到很多技巧。现在很多学生数学概念掌握不到位，而这些概念性的知识目前计算机还不能解决到位，需要学生自己消化理解。计算机只能做有限的、简单的处理，就像算得再多位也是有限的，但是“是什么”这个问题计算机回答不上来，计算机可以算一亿位、几十亿位，但都不完整，后面还有，只有以微积分的形式才能写出来是多少。这种东西是计算机所不能代替的，但是计算机能带来很多好处。再比如微积分题目，在网上一查就查出来，就可以不要做了。有了计算机的帮助，可以更多地学习思想、学习概念，计算方面的处理尽可能多地交给计算机。

访谈人：您曾经在科学成就的获得这方面谈过，很多学生喜欢数学、喜欢科学，从小就立志成为一位数学家、科学家，您的这些体会对于他们来说也会是非常有意义的。

林群：许多人认为，科学发展有其自身规律，实质性的进步需要积累、准备和机遇，往往是几代人的努力，大家不断地推进，到了即将突破的前夜，所谓“山雨欲来风满楼”，最后才有个别幸运儿“站在巨人的肩膀上”摘到了苹果。牛顿，甚至爱因斯坦的出现也绝非偶然，那个年代没有牛顿，没有爱因斯坦也会有别人。正像有人说的，“如果没有拿破仑，18世纪末的法国社会也会制造出一个拿破仑来”。所以伟人或重大成果是时代的产物，不是一经投入就能产生出来的。况且，科研工作探索未知，原本就有风险（据说丁肇中讲过，黑洞可能有，也可能没有，可能明天找到，也可能永远找不到），它不像盖楼、搞工程项目，可以指定进度或目标，基础研究不能“大跃进”。

访谈人：刚才您也谈到，作为一个理科生，是需要有一定的文学素养，这样看问题可以站得更高。现在还有很多偏爱文科的学生，对数学这门学科有所抗拒。本身就不喜欢数学，可能学习这门学科就会成为负担。是不是无论什么学生都应该学好数学，您怎么看待这一问题？

林群：我对俄罗斯这一国家印象很深。因为他们规定贵族必须学微积分，俄罗斯国家的文学作品给人留下很深刻的印象，像托尔斯泰的作品就是不朽之作，我想文学界对他的作品也是认可的。我认为文科生也要念数学，数学人也要念文学，否则看问题的点就会站得很低。文科生看问题的立足点很高，我们理科生看问题的立足点很低，这是为什么？因为我们没有看到全局，我们都是一步一步推理。人家全面地、立体地看整个世界，所以会出像达·芬奇这种伟大的全才。从另一个角度来看，微积分是无限的思想，我们只知道有限的世界，如果文学家能知道无限的世界，他写东西思维就能够更开阔。我是这么想的。

因为数学是哲学，微积分是将有限的哲学变成无限的哲学，这是哲学上的突飞猛进。因为科学家更关心“无限”，这是微积分教会他们的。我们现在的目光都很有限，有限的事情我们会做得很好，无限的事情我们不会做。我觉得如果文学界知道无限的概念，思想就会更开阔。我们数学经常假设，然后通过推理得出结论，所以我们的结论经常有错。我们一批搞经济数学的人做出错误结论的时候，他要基于几个假设。托尔斯泰的儿子写关于父亲的回忆录时，提到托尔斯泰做了大量的算术题，研究微积分，恐怕他的研究是整体的研究，因为当时俄国的数学是很先进的，彼得大帝非常注重数学，俄罗斯帝国培养了很多领域的一流的大家。我们国家可以慢慢来，理科生注重数学学习，文科生也注重数学学习，我相信我们国家可以更上一层楼。

（选自《与数学家同行》，南京师范大学出版社2015年，本刊有删改）