基于改进的K睸VD字典学习CT图像重建算法

何文章 杨莹 张艳慧

摘要：不完全投影数据图像重建为降低照射剂量提供了一个新的解决方案。在KSVD字典学习算法中，由于选取KSVD算法中的初始化字典对训练得到的自适应字典构造有影响，因此通过引进一个稀疏初始化字典矩阵，使KSVD字典学习算法能更好地适应于稀疏图像重建。在此基础上，提出了一种基于改进的KSVD字典学习和SART重建算法相结合的图像重建算法。实验结果表明，该算法能够在投影数据不完备的情况下准确地重建出图像，同时保留图像的细节分量，提高重建图像的质量，尤其是可以减少由于投影数据不完备而造成的条状伪影现象。

关键词关键词：图像重建；SART算法；KSVD字典学习；稀疏角度

DOIDOI：10.11907/rjdk.161351

中图分类号：TP317.4文献标识码：A文章编号文章编号：16727800（2016）007019003

0引言

CT技术在提供快捷、精准的诊断手段的同时，射线辐射也成为了亟待解决的问题，而研究不完全角度下的图像重建问题，能够有效解决射线辐射问题。CT重建算法中，一般要求完备的投影数据集。但在很多实际应用中，由于成像系统扫描的几何位置约束或数据采集时间上的不同，导致采集到的数据不完备，从而使重建得到的图像存在着条状伪影现象，并使图像中的细节变得完全模糊。也即是说，现有的图像重建算法无法很好地改善成像速度与重建图像质量方面的问题。

CS理论为解决不完全角度下的图像重建问题指出了新方向。研究稀疏角度下的图像重建算法，其实是在原有的扫描方式上增大角度增量，从而使扫描出的角度数量减少，以有效降低扫描过程所需的照射剂量并缩短扫描时间，同样也可在快速成像的应用中得到良好的成像效果。SART图像重建算法由于其具有在处理投影数据不完全情况的同时，可以很好地抑制伪影，并且可以引入物体的先验信息等优点，获得了广泛应用。

研究表明，基于字典学习算法（Dictionary Learning，DL）即自适应训练得到的字典稀疏编码（Sparsecoding）在效果上要优于固定字典的稀疏编码，在自适应的动态字典下，图像能够得到更为稀疏的表达，在很多应用中获得了非常好的效果。通过此算法构造完备矩阵，选择最稀疏的一组解使矩阵和训练集相似的目标向量进行稀疏表示。该算法通过选择适当的字典，可以获得良好的效果。本文将SART图像重建与图像的稀疏性相结合，字典更新采用KSVD算法，稀疏编码采用OMP算法，主要是为了在获得的投影数据量比较小的情况下提高图像质量，尤其是可以减少因为投影数据不完备而造成的条状伪影现象。

1CT重建原理

1.1迭代图像重建基本问题及原理

迭代图像重建算法[5]其实是离散化连续图像f（x，y）的一个过程，可以把物理现象和其本身的数学模型建立一个线性方程组：

式中pi表示第i条射线的投影值；M代表投影数据总个数，即某一个角度投影的射线数乘以投影角度个数；pi代表第j个网格（像素）内的常数值；N=n×n是像素总数；αij代表方程组系数，即投影射线在该像素内所截线段的长度，其关系到重建图像的精度与速度。式（1）可用矩阵表示为：

AX=P（2）

式中P为M维测量值的一组向量；X为N维图像向量；A为M×N维的系数矩阵，图像的重建过程其实是根据A和P求解出X，从而把图像的重建问题转变为一个求解线性方程组的问题。

在实际应用过程中，对于射线数目M和图像的像素个数N相对较大的问题，传统的矩阵方法并不能高效地求出X。1984年，联合代数重建算法（Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique，SART）作为代数重建算法（ART）的主要改进算法被提出。在ART迭代重建算法中，每条射线都要修正各xj的值，直到每条射线都作完修正，完成第一次迭代。而SART利用一个像素里全部射线的修正值来确定对该像素的平均修正值，目的是对噪声进行平滑，而且与ART相比，其计算结果与投影顺序无关。SART的算法公式为：

其中，k表示迭代次数，1≤i≤N，1≤j≤M，λ表示松弛因子（0<λ<2），Iθ代表投影角度θ下投影索引的集合。

1.2字典学习方法

字典学习的过程是为了找到一个字典，从而使训练集合中任意一个图像块均能通过字典中的原子来稀疏表示。为了减小计算复杂度，本文采用K-means聚类算法[6]将图像分为小图像块，对每个小图像块进行字典学习操作。KSVD字典学习问题可以表述为：

第一步：稀疏编码阶段，此时惩罚项为：

其中原始图像y={yi}Ni=1，yi=Riy，R表示从原始图像y中获得图像块yi的操作；α为稀疏表示系数，α={αi}Ni=1；T0为稀疏度，=D为过完备字典。现转向字典学习步骤，假设字典固定，考虑字典的某一列k以及与该原子对应的稀疏表示系数αkT，即α的第k行，此时惩罚函数可以表示为：

去噪之后的图像为：

y=Dα（8）

1.3基于改进的KSVD字典学习的SART图像重建算法

在KSVD字典学习算法中，由于选取KSVD算法中的初始化字典对训练得到的自适应字典构造有影响，本文通过引进一个稀疏矩阵B，使初始化字典在过完备DCT字典上呈现稀疏性，以使KSVD字典学习算法能更好地适应于稀疏图像重建。现认为字典的原子在DCT过完备字典上依旧会表现出稀疏性，即：

=DB（9）

其中D是已经给出的基字典（过完备DCT字典），而矩阵B是一个稀疏矩阵，通过改变矩阵B来达成的灵活性，此时KSVD的目标函数式（3）需改为：

将SART算法结合KSVD字典学习算法，得到以下基于改进的KSVD字典学习的图像重建模型为：

上式中的第一项代表测量值间与重建出投影数据的总体相似度，称为保真项，该部分可利用代数重建迭代法来重建，如ART、SART算法等。因此，本文将运用SART算法获取字典学习过程的初始值。第二项表示误差约束， αi则表示它所对应的块图像Riy经过图像重构后得到的近似值。

算法流程如下：①输入投影数据P，等间距采样；②初始化：给重建的图像赋初始值f=0，设定每个参数值，初始化字典、字典学习次数、SART算法的迭代次数；③用公式（3）对图像f进行一次SART迭代，得到图像新的像素值；④将第③步重建出来的图像通过Kmeans聚类算法进行分块操作，得到每个小图像块；⑤将第④步得到的图像代入公式（10）中进行字典学习，对图像去噪；⑥将第⑤步更新得到的像素值重新作为公式（3）中SART迭代算法的初始值；⑦重复②-⑤，直到达到迭代次数要求为止。

2仿真实验

2.1重建图像质量评价

求出本文算法重建得到的图像与原始模型之间的信噪比：

其中，xtruj代表原始图像第j个像素的灰度值，truj为原始图像中像素的平均灰度值，xrecj表示本文算法重建图像第j个像素的灰度值。

2.2仿真实验结果

本文的仿真实验采用SheppLogan模型作为重建对象，获得完备的投影数据，通过SART迭代算法获得稀疏角度下的投影数据，如图1所示。

通过平行光束扫描进行重建，本文算法首先在0～180°内分别每隔9°、3°均匀采取投影数据，接着运用SART重建算法对其进行图像重建。本文对SART算法和基于改进的KSVD字典学习的图像重建算法进行仿真实验操作，并对比两种方法的实验结果。两种算法各迭代10次，图3表示投影数据为60的情况重建得到的结果评估，图4表示投影数据为20的情况重建得到的结果评估，如图2～图4所示。

对投影数据个数不同时重建图像的效果作比较，利用MSE、SNR和PSNR三种量化指标来评测原始模型和重建得到图像的相似程度，计算结果如表2所示。

3结语

在不完全投影数据条件下，为了把图像的稀疏性与SART图像重建算法更好地结合起来，本文通过把SART与改进的KSVD字典学习图像重建算法相结合，对标准模型进行仿真实验。实验结果表明，本文算法在图像重建效果以及提高信噪比方面，明显优于传统的SART算法。因此，本文算法可进一步提高图像质量，减少噪声和伪影，使重建图像与原始图像相比效果更加逼真。

参考文献：

闫镔，李磊.CT图像重建算法.北京：科学出版社，2014.

赵可，潘晋孝，孔慧华.基于字典学习和迭代算法的不完全投影重建算法[J].数学的实践与认识，2014，44（2）：143148.

练秋生，郝鹏鹏.基于压缩感知传感和代数重建法的CT图像重建[J].光学技术，2009，35（3）：422425.

王欣，沈思秋.一种改进的基于KSVD字典的图像去噪算法[J].电子设计工程，2014，22（23）：189192.

凌国，徐伯庆.一种基于压缩传感和SART的图像重建迭代算法[J].2013，7（42）：138140.