巧找不变量 确定单位“1”

张丽

摘 要：对于较复杂的分数问题往往有多个单位“1”或者单位“1”数量发生改变，此时分析数量关系，找出不变量并确定其为单位“1”，再转化已知条件的分率。本文结合实例，给出解决这一类分数问题的三种基本类型：（1）总量不变；（2）部

分量不变；（3）相差量不变。 关键词：分数问题 不变量 单位“1”

分析数量关系，找出单位“1”是解决分数应用题的关键。对于标准量不变的简单分数问题，学生能快速找出单位“1”，并能准确地解答。但是在较复杂的分数问题解决中，当标准量发生改变时，学生很难确定新的统一的单位“1”，此时如何灵活确定统一的标准量即单位“1”是解决分数问题的突破口。下面从几个特殊例题对这类问题的解题技巧进行简述。

一、总量不变，以总量为单位“1”，先求总量，再求解 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，甲仓库的粮食量是乙仓库的3/4，如果乙仓库给甲仓库 2吨粮食后，这时甲仓库的粮食量是乙仓库的4/5。问：甲、乙两仓库原来各有多少吨粮食？分析与解答：因为乙仓库给甲仓库 2吨的粮食，甲、乙仓库的粮食量都发生变化，所以题目中的 3/4和 4/5所对应的单位“1”不同，不能直接进行比较。但甲、乙两个仓库的粮食总量不变，因此可把甲、乙两个仓库粮食总量看作单位“1”，转化相对应的分率即可。那么原来甲仓库的粮食量就是两个仓库粮食总量的3/（4+3）；乙仓库给甲仓库2吨粮食后，甲仓库的粮食量是两个仓库粮食总量的4/（4+5）。从而可求出两个仓

库的粮食总量为 2 ..45 . 3...126 （吨），甲仓库原来的粮

食量为126 . 34 .54 （吨），乙仓库的粮食量为 126-54=72

（吨）。

二、部分量不变，以部分量为单位 “1”，先求不变量，再求解

图书室有科技书和文艺书两种书共 360本，其中科技书的本数占总数的1/9，现在又买来了一些科技书后，科技书的本数占总数的1/6。问：现在又买来多少本科技书？

分析与解答：由题意可知，科技书买来前和买来后，文艺书的本数不变，因此可把“文艺书的本数”看作单位“1”，

先求出“不变量”文艺书的本数为： ... 19 ...（本），

则原来科技书的本数为 360 ..40 （本）。这时转化分率，

把“又买来一些科技书后，科技书的本数占总数的1/6”转化为“这时科技书的本数占文艺书本数的1/（6—1）”，由此可

以求出买来后科技书的本数为： 320.1 .64 （本），所以又买进科技书的本数为：64 ..40 24（本）。 三、相差量不变，以相差量为单位 “1”，先求相差量，再求解

小明的零花钱是小东的3/5，如果两人都花了 8元后，小明的零花钱是小东的 1/2。问：小明和小东原来各有多少零花钱？

分析与解答：由题可知，花钱前后，小明和小东的零花钱的差不变，因此可把“小明和小东的零花钱的差”看作单位“1”。接下来将小明（或者小东）花钱前后占两人零花钱差的分率表示出来。花钱前，小明的零花钱是两人零花钱差的 3/（5—3）；花钱后，小明的零花钱和两人零花钱差一样多。由

于小明花掉的部分是 8元，8元占两人零花钱差的 .53 .1.，

由此可求出两人零花钱差为：8 ..... 31.. （元），原来小

明的零花钱数为：16 ..3 .24 （元），原来小东的零花钱为：

53 24 .16 .40 （元）。 以上三种情况都是以不变应万变，找出不变量，并将其确定为单位“1”。这一类型的题目的特点是描述数量关系的关键句中的比较量和标准量表面上是一样的，实际上标准量的大小已经发生改变。学生在解决这类型的题目时，往往没有意识到此时前后的单位“1”的数量已经发生变化，会直接将两个分率直接进行比较与运算。在教学这类题目的解题时，教师要让学生找出关键句并提醒学生前后的单位“1”一样吗，数量一样吗？当学生发现单位“1”的数量发生改变时，让学生明白两个分率此时不能直接进行比较与运算，再引导学生发现题目中存在不变的量，结合题目的已知数量将题目中的分率转化成以不变量为单位“1”，利用不变量这个桥梁解决问题。为了让学生能掌握这类型题目的解题思路和解题技巧，做到举一反三，教师在教学中可以有意识地组织学生进行有针对性的训练，积累解题经验，拓宽解题思路。

参考文献

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