多小波的复制降噪方法

梁鹏

摘要：伴随多小波理论的完善，多小波的图像降噪技术得到较多的实际应用。目前的大部分多小波降噪技术，会采用预处理函数的方法，本文给出了一种新的多小波图像降噪方法——图像复制法，详细介绍了算法在图像分解和重构过程的具体流程。用这种方法对带高斯噪声图像进行了实验模拟，并与D4小波的降噪效果进行了比较，获得了较D4小波更理想的实验结果。

关键词：多小波 多小波滤波器 数据融合 多小波图像降噪

中图分类号：TP751.1 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2016）08-0053-02

1 背景来源

通信技术的发展致使图像在科学研究、军事和生活中应用越来越广泛。小波及其逆变换在小波频域中拥有较傅里叶变换有的高频处理能力，并且小波还可以对高频率部分逐次进行分解，由此，在图像处理时，小波变换较傅里叶变换更有优势。但是小波变换也存在一些缺点，比如光滑性和紧支性的统一等，由此，为解决小波的缺点，便产生了多小波。在小波变换基础上发展起来的多小波变换，弥补原有的缺点，还将原来高频处理的相关优点继承下来。更加重要的是：图像处理中保持信号不变的正交性、易于图像边缘处理的对称性、滤波函数导数运算的光滑性、保持滤波函数有限可操作性质的紧支性等几个性质很好的统一融合起来[1，2]。多小波的滤波器和小波的滤波器有所不同[5]，所以每次进行多小波分解之前必须进行预处理。利用预处理函数对图像进行处理的预处理算法是多小波进行图象处理一般采用的方法[1]。文章针对预处理算法中的计算次数多、计算量大的缺陷，给出一种全新算法—复制法，并在实验部分将该算法进行了比较分析。

2 多小波变换的数学理论基础

多小波拥有多个小波母函数，同时拥有与母函数相对应的有多个尺度函数。多小波与单小波变换一样满足MRA（多分辨率分析）。多分辨率分析是小波变换可用于图像处理的基本理论依据，也是理解和构造分析小波的总体指导。具体的定义如下：

3 多小波的复制降噪方法

多小波的复制降噪方法的核心思想具体如下：利用GHM多小波滤波器函数对带有高斯噪声的数字图像分解时，和单小波变换一样，一次只处理图像矩阵的一行（一列），为了能够使单行（列）的数据能够与多小波的滤波器矩阵进行卷积运算，将图像矩阵的该行（列）数据重新复制保存，以变成两行（列）数据。上述操作使图像矩阵由原来的n*n矩阵变成了2n*2n的矩阵。在利用多小波逆变换进行图像的重建时，需要将2n*2n的矩阵变回原来的n*n图像矩阵，为达到目的，文中使用冗余的象素点进行数据融合的处理技术。

3.1 复制降噪方法的图像分解

设L=（），其中为GHM多小波变换低通滤波器矩阵（k=1，2，3，4）中的4个滤波矩阵的第一行数据，为GHM多小波变换低通滤波器矩阵（k=1，2，3，4）中的4个滤波矩阵的第二行数据；设H=（），其中为GHM多小波变换高通滤波器矩阵（k=1，2，3，4）中的4个滤波矩阵的第一行数据，为GHM多小波变换高通滤波器矩阵（k=1，2，3，4）中的4个滤波矩阵的第二行数据。设表示带噪声的数字图像的矩阵，其中N为2的次幂。则复制降噪方法具体操作如下：

（1）将GHM多小波低通滤波矩阵、高通滤波矩阵与从行方向上小波卷积分解，在进行卷积分解每一行时，将其数据复制为矩阵，以使与滤波矩阵和卷积分解。计算后得到4个矩阵：，，和。其中小波分解运算。

（2）将上述4个矩阵记为L1、L2、H1和H2，并对它们进行列方向上的同样的多小波滤波卷积运算。滤波矩阵对L1分解的4个小波系数矩阵为L1，L1，L1和L1。分别记为L1L1、L1L2、L1H1和L1H2。对L2进行分解操作得到的4个小波系数矩阵记为L2L1、L2L2、L2H1和L2H2。高通滤波器组对H1分解得到4个小波系数矩阵记为H1L1、H1L2、H1H1和H1H2；对H2分解得到的4个小波系数矩阵记为H2L1、H2L2、H2H1和H2H2。

3.2 复制降噪方法的图像重建

经过第一部分中使用GHM多小波复制降噪法分解后，将产生的16个小波系数图像子矩阵分为四类。第一类：L1L1、L1H1、H1L1和H1H1；第二类：L1L2、L1H2、H1L2和H1H2：第三类：L2L1、L2H1、H2L1、和H2H1；第四类：L2L2、L2H2、H2L2和H2H2。将其分别记为A、B、C、D。对他们按以下步骤处理：

（1）A、B、C、D四类小波系数图像矩阵均用滤波矩阵进行列方向的反演。其中A、C类使用GHM多小波的滤波矩阵和得到的图像矩阵记为l1（A）、h1（A）、l1（c）和h1（c）；B、D类使用GHM多小波的滤波矩阵和得到的图像矩阵记为l2（B）、h2（B）、l2（D）和h2（D）。

（2）l1（A）和l2（B）采用基于小波变换的均值数据融合技术得到图像矩阵l1（AB）。对h1（A）和h2（B），l1（c）和l2（D），h1（c）和h2（D）进行同样的数据融合得到的图像矩阵分别记为：h1（AB）、l2（CD）和h2（CD）。

（3）上述两步是对处理过的小波系数图像矩阵进行列方向上的反演重构和数据融合。数据融合是为了提高图像的质量，而且也为小波系数图像矩阵在行方向的重构处理做好铺垫。行方向的反演重构与列方向类似，都是先小波逆变换，再进行融合。对上面得到的小波系数图像矩阵l1（AB）和 h1（AB）进行行方向的反演重构得到n*n的图像矩阵G（N，N）。对使用GHM多小波的滤波矩阵和进行同样的处理得到n*n的图像矩阵H（N，N）。两个图像矩阵进行均值型的数据融合即可得到消除高斯噪声后的图像F（N，N）。

在实际的图像降噪处理中应先对分解后产生的16个矩阵块数据进行基于3原则的统一阀值处理，然后再根据上述的方法进行重构。

4 实验仿真分析

利用带高斯噪声的图像检验文中提出的GHM多小波复制降噪方法的实验效果。文中采用图像的大小为256×256的且带有白噪声的图像，进行了图像降噪实验。并将它和D4单小波进行比较。采用D4单小波的原因是其和GHM多小波函数的滤波器均有八个矩阵构成，结构相差不大。计算量也是一个数量级，能够比较出之间的差别。对图像进行分解时都采用了小波单层的分解方法。降噪方法采用的都是基于3原则的统一阀值法。实验结果如图1图2图3所示。

从图1图2图3像的降噪效果可以看出本文提出的多小波算法处理的效果要比D4小波好，效果更加柔和。

参考文献

[1]Vasily Strela， Peter Niels Heller. The Application of Multiwavelet Filterbanks to Image Processing [J]. IEEE TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING..（1999） 548-563.

[2]Mukesh C .Motwani， Frederick C.Harris. Survey of Image Denosing Techniques [R]. （2001）.

[3]D. L. Donoho. De-noising by soft-thresholding [J]， IEEE Trans. Information Theory， （1995）， pp.613-627.

[4]Martin. Adaptive Wavelet Thresholding for Image Denoising and Compression [J]. IEEE TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING.1532-1546.81493.

[5]JEFFREY S. GERONIMO. Fractal Functons and Wavelete Expansions Based on Several Scaling Functions [J]. JOURNAL OF APPROXIMATION THEORY（1994） 373-401.

[6]STEPHANE G.. MALLAT. Multifrequency Channel Decompositions of Images and Wavelet Models [J]. IEEE TRANSACTIONS（1989）2091-2110.