漫话函数发展史

崔晓彬

回顾一下函数概念的发展史，对同学们加深理解课堂知识、激发学习兴趣是有益的。

最早提出函数（function）概念的是17世纪德国数学家莱布尼茨。最初，他用function一词表示幂，如x，x2，x3都叫函数。以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。

1718年，莱布尼茨的学生瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫作x的函数。贝努利所强调的是函数要用公式来表示。

后来，数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准了。

1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”

当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。

1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫作函数。”在柯西的定义中，首次出现了自变量一词。

1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义，指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个x的对应值。

1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数。”这个定义抓住了概念的本质属性，把变量y称为x的函数，只需有一个法则存在，使得x取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式。这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便。因此，这个定义曾比较长期地使用着。

自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在课本里用的了。中文数学书上使用的“函数”一词是转译词，是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”。中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：凡是公式中含有变量x，则该式子叫作x的函数。所以“函数”是指公式里含有变量的意思。

在笛卡儿引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。纵览宇宙、运算天体、探索热的传导、揭示电磁秘密等，这些都和函数概念息息相关。正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化。我们可以预计，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展。

编辑/佟馨