数形结合思想在解题中的应用

毕来峰

数学语言是最精炼的语言，而图形语言又是数学语言中的精品. 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.

一、由形转化成数

例1 （2005年全国）设b>0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一，则a的值为

A.1 B.-1 C.-1-52 D.1+52

解析 只有先认识图形，并选定正确的图形，才能进一步选定正确的答案.由于b>0，抛物线的对称轴不可能是y轴，排除前两图；后两图都通过原点，故必a2-1=0，于是a=±1，若a=1，则抛物线开口向上，且x=-b2a<0，即对称轴应在y轴左方，排除第四图，因而第三图正确，只能a=-1，选B.

二、由数转化成形

例2 当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2

分析 若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特值求解a的取值范围.

总之，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.