张量分析教学内容改革的研究与实践

陈新 左建平

摘 要：张量的概念和张量分析在力学和物理学中得到了广泛应用。目前在高等院校理工科本科教学中，不可避免地涉及到《张量分析》课程或相关内容的讲授。在该课程教学中，除了训练学生扎实、系统地掌握张量的定义、本质、运算和应用外，还应注重对学生综合能力、实践能力和创新能力的培养。结合笔者教学工作体会，为了提高教学效果提出了课程教学内容改革的措施，包括优化和拓展教学内容、加强与先修和后修课程的联系等。实践证明，该方法的教学效果良好。

关键词：张量分析 教学内容 教学改革

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）03（c）-0116-02

Abstract：The concept of tensor and tensor analyses has wide application in mechanics and physics.At present，teaching tensor analyses as an independent course or a chapter in relevant courses is very popular for science and engineering undergraduate students in college or university.For the course of tensor analysis，the objective is to systematically training the students to master the definition，basic characters，calculation and application of tensor algebra，as well as to improve their comprehensive，practical and innovation abilities in scientific thinking.Based on many years teaching experience of the authors，some reformation measures on the course content are proposed to improve teaching effect， which includes optimization and extension of course content and strengthen the relation with the prerequisites and subsequent courses.The application of these measures in teaching has received good effect.

key Words：Tensor analysis；The course content；Teaching reformation

自爱因斯坦以张量分析作为数学工具提出的广义相对论获得巨大成功后，张量分析在力学和物理学中得到了广泛应用。张量整体在坐标变换下的不变性揭示了力学物理量的本质属性，而张量在曲线坐标系下的微分运算则是研究非线性大变形问题的数学工具。近几十年来，越来越多的力学文献和教材都采用张量符号书写，张量概念和张量分析方法已经成为力学工作者必需掌握的数学工具。

目前，在高等院校理工科类本科生的教学中，或多或少地涉及到了张量分析的内容。直线直角坐标系下的张量分析，包括指标符号系统、张量的定义、张量代数和笛卡尔张量的微分运算等内容，已经渗透到连续介质力学各分支学科的教材和专著中，且掌握起来较为容易，通常作为非力学专业本科生的弹性力学或流体力学等课程的某一章节进行讲授。而一般曲线坐标系下的张量分析则较为复杂和抽象，初学者不易理解和掌握，通常作为力学专业本科生或理工科类（电气、土木、水利、地质、力学等专业）研究生的课程进行讲授。

张量分析作为笔者学校工程力学专业本科生的专业必修课，教学时数为32学时。所用教材为该校宋彦琦教授编著的讲义《张量及其应用简明教程》，内容主要涉及到直线直角坐标系下的张量分析和一般曲线坐标系下的张量分析初步。为了培养学生的综合能力、实践能力和创新能力、提高教学质量，笔者及所在教研室教师结合多年的教学经验，以培养学生扎实、系统地掌握张量的定义、本质、运算和应用方面的综合能力、实践能力和创新能力为目标，在课程的教学内容上进行了优化和改革，形成了独具特色的教学内容新体系。

1 突出基本概念和核心内容

课程教学内容包括：第1章绪论、第2章张量代数、第3章张量微分和在第4章张量分析的应用。其中，第2章和第3章为核心内容，第1章和第4章为拓展内容。课程最为基本的概念当属张量的定义。

张量作为整体在坐标变换下不变，而其在具体坐标系下的分量，当发生坐标变换时满足一定的变换规律，称之为协变性。整体不变、分量协变是张量定义的核心，反映了张量是真正的几何量从而与坐标变换无关的本质属性。

张量作为矢量概念向高阶的推广，在坐标变换下的分量协变关系，是由其组成特点决定的。张量由基张量和其对应的张量分量组成。张量的分量则是基张量标尺下的具体读数，二者协调变化以保持张量的整体不变性。例如，设有新旧两个直线直角坐标系和，对应的基矢量分别为和。则任意的N阶张量在两个坐标系下的分量形式分别为：

上述张量定义的解读建立了张量分析与矢量分析的内在联系，以此将核心内容如指标符号系统、张量代数、直线直角坐标系和一般曲线坐标系下张量的微分运算等以知识单元串联起来，让学生在复习和巩固矢量运算相关知识的基础上理解和掌握张量运算，就顺理成章了。

2 加强与其他课程的联系

笔者学校张量分析本科生课程在大学三年级上学期或二年级下学期开设。为了提高学生的综合能力和实践能力，在课程内容中加强与相关课程的联系是十分必要的。

张量分析的先修课程为高等数学、线性代数和矢量分析，课程相关内容包括：（1）线性代数的相关知识[1]，如行列式、矩阵运算、线性变换等；（2）高等数学和矢量分析中标量和矢量微分运算，如梯度、散度、旋度、高斯公式和斯托克斯公式等。上述内容在张量分析中的基础作用不容忽视，需要对相关知识点进行巩固、复习和采用新视角进行解读，加强学生融会贯通应用所学知识的能力。

张量分析对于后续课程如流体力学和弹性力学等的作用体现在两个方面：（1）实用性：利用指标记法能把繁琐的方程写的简洁、紧凑、物理意义明确；（2）必要性：张量方程能满足物理定律必须与坐标系选择无关的特性，且曲线坐标系下的微分运算方法是研究非线性大变形问题必备的数学工具。

张量分析的先修无疑给后续课程的学习带来了方便[2]，但也给教师的讲解带来一定的困难。要求教师重点说明张量分析在后续课程中的应用原理，提纲挈领地介绍弹性力学和流体力学中相关方程的基本概念和核心思想，不过多涉及其详细内容，把握好讲授的深度与广度。

为此，将第四章内容进行了大幅度调整。结合给研究生讲授连续介质力学的教学经验，对固体力学和流体力学中的张量方程建立及转换为曲线坐标系下的形式，以平衡方程为例只介绍基本方法和一般步骤，而将重点放在介绍基本方程在笛卡尔坐标系下的分量形式和不变性形式。对这些张量方程的知识背景和推导过程，则通过给学生下发补充讲义做详细介绍。这样一来，即使学生当时不能完全理解，在后续课程学习中也可以进行翻阅和自学，从而将张量分析和其他课程有机地进行融合。否则，若过多地涉及各张量方程在曲线坐标系下的具体形式，不仅繁琐、枯燥、学时不够，还使得学生一头雾水。

3 拓展教学内容激发学习兴趣

为了培养学生的创新精神、激发学习兴趣、开阔视野，增加了教学的拓展内容。

通过查阅相关资料和文献[3]，在第1章绪论中给学生系统地介绍张量分析的发展历史。包括：（1）张量概念的起源：凯莱的抽象代数、非欧几何、高斯的内蕴几何思想、黎曼的高维弯曲空间思想和流形概念；（2）张量分析的建立：贝尔特拉米的曲线微分几何和微分形式不变量、克里斯托弗符号、里奇和契维塔的绝对微分学；（3）张量分析的应用——爱因斯坦广义相对论：基于微分几何学的时空度规张量与以张量方程表达的引力方程。

此外，积极拓展课堂外的教学活动，包括开展文献阅读课、研讨课等。例如，结合教师与张量分析有关的科研课题“张量在油井井壁稳定分析中的应用”，引导学生运用所学的张量分析知识参与课题的研究讨论，激发学生的学习兴趣，提高学生的实践能力和创新能力。

4 教学内容改革的实践效果

经过近几年的教学内容改革实践，在教学中取得了显著成效：（1）通过优化教学内容，突出基本概念和核心内容，节约了课时，为引入拓展内容提供了条件；（2）通过加强与先修和后修课程的联系，提高了学生对知识的贯通和应用能力；（3）通过拓展教学内容，开拓了学生的视野、激发了学习兴趣、培养了创新意识。

上述教学内容的改革提高了教学质量，学生在张量分析基础知识的掌握、应用方面较为扎实，综合能力、实践能力和创新能力都有所提高，为该校创新性人才的培养贡献了力量。

参考文献

[1] 徐菲.线性代数在张量分析中的基础作用[J].科技信息，2008（30）：167.

[2] 彭乐生.在力学教学中及早普及张量的建议[J].教材通讯，1985（2）：14-15.

[3] 黄勇.张量概念的形成与张量分析的建立[D].山西大学，2004.