浅谈数学问题设计

蔡步甜

华罗庚曾说过：“学数学而不做数学题，等于入宝山而空返。”教师适当地安排学生做些数学习题，不仅是巩固与检查课堂教学效果的重要手段，而且是知识转化技能、培养学生思维能力的重要途径。

数学学科要真正减轻学生负担，教师就要在提高习题“品位”上下功夫，以减少学生的习题量。要做到这一点，数学教师必须经历从布置习题到设计习题的观念转变。提倡教师自己动手设计习题，花大力气提高习题的质量。我结合多年的数学教学的实践谈谈习题设计的几种主要方式。

一、多变——规律式习题设计

在数学教学中运用多变式习题设计，选择适当的题型，变换条件和结论，得出新题，由一题变多题，引导学生将问题步步深化，克服思维定势，开阔思路，培养他们发散式思维能力，提高学生思维的敏捷性和解题的灵活性。

在教学过程中为了巩固对等腰三角形两底角相等的性质理解，对以下原题进行多变式设问。

例1 原题：“若等腰三角形的一个底角为55°，则其顶角是几度？“将原题的条件和结论作适当的变换，得到以下多变题组：

1、若等腰三角形的一个顶角为55°，则其底角是几度？

2、若等腰三角形的一个内角为55°，则其余的角各为几度？

3、若等腰三角形的一个内角为100°，则其余的角各为几度？

4、若等腰三角形的一个内角为A°，则其余的角各为几度？

一题多变是数学教师在执教中的惯用手法，我认为一题多变的关键是要使学生在变化中找出解答这类题目的规律，从而使复杂的题型简洁化。

二、多解——捷径式习题设计

不少习题可有多种解法，教师在教学中常用一题多解来培养学生创新思维的能力。但我认为，一题多解的关键是要使学生从多解之中找出捷径。那种追求形式越解越难的一题多解只会增加学生的负担，故一题多解习题一定要设计得当，确实让学生在多解中解得轻松。

例2 解方程2x+ =1

让学生自己动手来解，结果总结出两种解法：一是将左边2X移到右边，后面两边平方来解；二是设 =y，用换元法来解。教师问：“还有别的解法吗？”学生们面面相觑，此时引导学生对移项后的方程式进行分析，启发学生联想二次根式定义中的两大特点（被开方数非负数、结果非负数），由定义得

2x-1≥0

1-2x≥0，因此x= 。很显然，这第三种解法就是解本方程的捷径。

对于几何证题，一题多证更为广泛。

三、陷阱——强化式习题设计

某些数学知识，教师仅仅在课堂上照本宣科或正面阐述并不能使学生加深印象和透彻理解，这时如果教师巧妙设计“陷阱”，有意识地让学生经受“挫折”，迫使他们寻找失误的症结和预防方法，从而给学生打上难以磨灭的烙印，有效地培养了学生思维的严密性，使他们在以后解题时不走或少走弯路。

例3 已知一扇形的周长为10cm，

（1）求扇形面积y关于半径x的函数关系式；

（2）求自变量半径x的取值范围。

让学生自己动手解，结果为：（1）解析式为：y=5x-x2；（2）取值范围为0 ，则

四、组题——同类式习题设计

归纳分类、组题教学能使学生加深对知识的理解，培养学生举一反三的能力，使他们通过有限的练习，从中悟出共同的解题规律，使之从题海中解脱出来。题组形式很多，有叠加题组、串联题组、并联题组、同类题组、变式题组、专题题组……笔者认为从减轻学生负担而言，“同类题组”最有意义。

例4 （1）已知x、y为实数，x2+2y+y2-6x+10=0，求x、y。

（2）已知a2+2+ =2 ，求a- + + 的值。

（3）a、b为实数，求关于x、y的方程3x2+4y2-6ax-8by+3a2+4b2=0的实数解。

（4）已知a、b、c为△ABC三边，且a2+b2+c2=ac+bc+ab，求证以a、b、c为三边的三角形是等边三角形。

（5）求证方程式x4-3x2+2x+5=0无实数解。

上述五个问题情景各不相同，但万变不离其宗，均可依据“任何实数的平方不小于零”这一条来解题，抓住了这一规律，上述这些貌似繁杂的习题就迎刃而解了。

通过以上四种习题设计的主要方式的阐述，概言之，它的主要优点在于：解题思路开阔，解题方法类聚，思维规律性强；不但有利于提高学生的解题能力，而尤其有利于培养学生类比、归纳、猜想和探索的能力。实践证明，根据教学过程不同阶段的要求，以及教材不同内容的需要，无论是复习课还是新授课，有针对性地精心设计不同形式的习题进行教学，可以有效地遏制“题海战术”现象，以减轻学生过重的学业负担，并且将会取得更好的教学效果。