关于凸g期望的表示的一些结果

纪荣林　江龙　石学军

摘 要 在倒向随机微分方程生成元满足基本假设的前提下，通过次线性g期望所控制的一族概率测度，得到了受控于该次线性g期望的凸g期望的一个新的表示.进一步地，对任意给定的凸g期望，证明了控制该凸g期望的极小次线性g期望的存在性.

关键词 倒向随机微分方程；凸g期望；表示；极小元

中图分类号 O21163文献标识码 A文章编号 10002537（2016）02007205

Some Results on the Representation of Convex gExpectations

JI Ronglin， JIANG Long*， SHI Xuejun

（School of Sciences， China University of Mining and Technology， Xuzhou 221116， China）

Abstract Under the basic assumptions on generators that for any convex gexpectation dominated by some sublinear gexpectation， there exists a set of probability measures controlled by the sublinear gexpectation， a new representation of these convex gexpectations has been obtained in this work. Furthermore， for any given convex gexpectation， we show the existence of the minimal sublinear gexpectations dominating the convex gexpectation from above.

Key words backward stochastic differential equation； convex gexpectation； representation； minimal member

考虑如下形式的一维倒向随机微分方程（简记为BSDE）：

yt+ξ+∫Ttg（s，ys，zs）ds-∫Ttzs·dBs，t∈[0，T].（1）

由PardouxPeng[1]知只要函数g关于变量y和z是Lipschitz的，ξ和g（·，0，0）是平方可积的，则BSDE（1）有唯一一对平方可积的适应解.g被称之为BSDE（1）的生成元，ξ被称之为BSDE（1）的终端条件.将BSDE（1）的唯一一对平方可积的适应解记为（Yt（g，T，ξ），Zt（g，T，ξ））t∈[0，T].如果g还满足g（t，y，0）≡0，用εg[ξ]表示Y0（g，T，ξ），并称εg[ξ]为ξ的g期望.

g期望的概念可以看成是著名的Girsanov变换的非线性推广.自从g期望的概念提出以来，研究者已经得到了g期望的很多性质及应用，如Peng[2]给出了关于g期望的一系列基本性质，ChenEpstein[3]则利用g期望研究了递归效用.对于凸g期望而言，Rosazza[4]首次考虑了凸g期望与凸风险度量之间的关系，并从凸风险度量的角度初步地给出了凸g期望的表示；Jiang[5]则建立了凸g期望（g期望诱导的凸风险度量）与生成元g之间的一一对应关系.

由g期望的时间相容性知，凸g期望诱导的风险度量是一类特殊的凸风险度量，且由FenchelLegendre变换知，凸g期望的表示与其最小惩罚函数的表示是一一对应的.进一步地，结合g期望的相关理论知，g期望算子与生成元函数g之间存在某种一一对应的关系.因此，一个自然的问题是：在g期望的框架下，如何从生成元的角度，给出凸g期望一个更精确的表示？

受Rosazza[4]及Jiang[5]工作启发，本文获得了关于凸g期望的表示一些结果，如下：设εg0为次线性g期望，则对任意的受控于εg0的凸g期望εg，即εg0≥εg，存在由εg0控制的（Ω，FT）上的一族概率测度，使得凸g期望εg的最小惩罚函数在此概率测度族上有定义，从而得到了该凸g期望的一个新的表示.进一步地，对任意给定的凸g期望，证明了控制该凸g期望的极小次线性g期望的存在性.本文组织如下：第二节给出一些准备知识和必要的引理，第三节给出主要结果及证明.

1 预备知识

设T是一个给定的正实数，（Bt）t≥0是概率空间（Ω，F，P）上的d维标准布朗运动，（Ft）t≥0是由该布朗运动生成的完备的σ域流.对每一个正整数n，记|·|为Rn中的Euclid范数；对任意的z1，z2∈Rd，记z1·z2为向量z1与z2的内积；记L2（Ft）为Ft-可测且平方可积的随机变量全体.

对于BSDE（1），其生成元g是一个定义在[0，T]×Ω×R×Rd上的实值函数，对任意给定的（y，z）∈R×Rd，（g（t，y，z））0≤t≤T是一个Ft-循序可测过程且满足如下基本假设条件（A1）和（A2）：

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（编辑 HWJ）