带电粒子在三种场重叠区域的运动

重庆 张大洪

带电粒子在三种场重叠区域的运动

重庆 张大洪

遇变则变，动与力关系辨状态，过程将会更简便。

带电粒子在重力场、匀强电场、匀强磁场共存的重叠场中运动时，由于重力场、匀强电场对带电粒子的作用力均为恒力，匀强磁场对带电粒子的洛伦兹力f＝q v B⊥与粒子速度v成正比，故随粒子速度v的大小、方向的变化，其受到的合力大小、方向均可能发生相应变化，因而粒子的运动情况也会随之改变，这将使问题的处理与解答变得更为困难。本文从实例的处理入手加以总结，归纳分析处理此类问题的思路与方法。

一、带电粒子在三种场重叠区域中做无约束的直线运动、圆周运动问题分析

【例1】如图1所示，在一竖直平面内，y轴左方有一水平向右，场强为E1的匀强电场和垂直纸面向里的磁感应强度为B1的匀强磁场，y轴右方有一竖直向上，场强为E2的匀强电场和另一磁感应强度为B2（大小、方向均未知）的匀强磁场。有一带电荷量为＋q、质量为m的微粒，从x轴上的A点以初速度v与水平方向夹角为θ沿直线运动到y轴上的P点，A点到坐标原点O的距离为d。微粒进入y轴右侧后在竖直面内做圆周运动，然后以与P点运动速度相反的方向打到半径为r的四分之一绝缘光滑圆管内壁的M点（假设微粒与M点碰后不反弹、电荷量不变，圆管内径的大小可忽略，电场和磁场不受影响地穿透圆管），并沿管内壁下滑至N点，设m、q、v、d、r已知，θ＝3 7°，s i n 3 7°＝0．6，c o s 3 7°＝0．8，求：

（1）电场强度E1与E2的大小之比；

（2）y轴右侧磁场的磁感应强度B2的大小、方向；

（3）微粒从A点运动到N点所用的时间。

【解析】（1）微粒沿A P直线运动，其受力如图2所示，由于洛伦兹力大小随粒子运动速度的变化将发生相应变化，而重力、电场力为恒力，故合力将随粒子运动速度而变化。要使粒子做直线运动则只有让洛伦兹力恒定，即其速度恒定不变，故粒子必做匀速直线运动，因而图中三力之合必为0，即有q E1c o sθ＝m gs i nθ。

粒子进入y轴右侧后仍受到重力、电场力及洛伦兹力作用且重力与电场力均为恒力，磁场恒定，故要使粒子在竖直平面内做圆周运动，则粒子受到的电场力必与重力平衡，粒子只由洛伦兹力作向心力并在竖直平面内做匀速圆周运动，故有q E2＝m g；由以上有

（2）粒子进入y轴右侧后等效于只受洛伦兹力作用，圆周运动中经过P、M两点，并以与P点运动速度相反的方向打到M点，可作出其轨迹如图1中虚线PM所示，因而PM是其直径，即又由洛伦兹力作向心力有q v B2＝由以上两式得又由粒子经过P点时的速度方向及其轨迹可得磁场B2的方向必垂直于纸面向外。

（3）粒子从M点进入圆管时沿圆管的分速度由图1可知为v1＝vs i nθ＝0．6v，粒子在管中运动时其受到的重力与电场力仍平衡，洛伦兹力与管壁弹力均沿半径，故粒子在管中仍做匀速圆周运动且速度为v1＝0．6v，那么粒子从M点在圆管中运动到N点的时间为粒子在A P段匀速运动的时间为粒子在PM段匀速圆周运动的时间为故粒子从A到N的时间为

【总结】带电粒子在三种场重叠的区域内并且在无其他约束情况下，有以下两种运动情况。

（1）粒子做直线运动时，只能做匀速直线运动，三场力之合必为0；

（2）粒子在竖直平面内做圆周运动时，粒子受到的电场力与重力必等大、反向、共线，即此二力平衡，粒子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即洛伦兹力作向心力。

二、带电粒子在三种场重叠区域中做有约束的直线运动、圆周运动问题分析

【例2】如图3所示，与水平面夹角为3 7°的倾斜轨道A C，其延长线在D点与半圆轨道D P相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场（C点处于MN边界上）。一质量为0．4k g的带电小球沿轨道A C下滑，至C点时速度为接着沿直线C D运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过P点，在P点速度为vP＝4m／s（不计空气阻力，g＝1 0m／s2，c o s 3 7°＝0．8）。求：

TightRope系统包括1枚长方形纽扣钢板、1枚圆形纽扣钢板，4股Fiber Wire线将上述两钢板连接起来。1块长方形纽扣钢板置于喙突下方，1枚圆形纽扣钢板置于锁骨表面。TightRope系统间接固定肩锁关节，肩锁关节仍存在微动。在最近的荟萃分析中，Arirachakaran等［8］得出结论：与钩板固定相比，TightRope系统治疗后显示出较高的功能评分。Darabos等［9］报道，TightRope与Bosworth螺丝钉治疗III型肩锁关节脱位有同样的放射学效果。这说明TightRope系统重建喙锁韧带具有足够强度维持锁骨-喙突的间距及肩锁关节的对位。

（1）小球带何种电荷？

（2）小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功；

（3）小球通过P点后磁场同时消失，小球离开P点后的运动轨迹与直线A C（或延长线）的交点为G点（未标出），求G点到D点的距离；

（4）若只将半圆轨道改成光滑且小球到达点C的速度不变、图中的原有电场与磁场均不变，则小球在半圆轨道上运动时对轨道的最大压力及最小压力各多少？

【解析】（1）由于小球从C向D的直线运动是不受约束的，故小球在C D间必将做匀速直线运动，其受到重力、静电力、洛伦兹力如图4所示，且三力的合力必为0，因此带电小球应带正电荷。

（2）在D点速度为小球在半圆轨道运动中设重力与静电力的合力为F，如图4中虚线箭头所示，即F就是小球受到的等效重力且小球在半圆轨道上运动中其平衡位置恰为D点，故小球运动轨迹的物理最高点恰为图3中的P点。由于F＝q vCB，又F＝解得在点P处由牛顿第二定律可得把代入，得R＝1m；那么小球在D P段克服摩擦力做功，由动能定理可得即代入前面数据可得W摩擦力＝－2 7．6J，故此过程中克服摩擦力做的功为2 7．6J。

（4）在没有摩擦力作用时小球沿轨道做圆周运动，小球经过平衡位置D点时对轨道的压力必最大，经过物理最高点P时对轨道的压力必最小；小球经过D点时受到等效重力F、洛伦兹力FD、轨道对小球弹力FTD三力作用，由牛顿第二定律可得代入相关数据有8 1．6 3N，即球对轨道的最大压力为8 1．6 3N。

小球经过P点受到等效重力F、洛伦兹力FP、轨道对小球弹力FTP三力作用，由牛顿第二定律可得由于没有摩擦，小球经过P点时的速度由动能定理即球对轨道的最小压力为5 2．3 5N。

【总结】（1）带电粒子在三种场重叠区域并受到轻杆、轨道、平面等约束情况下的直线运动，抓住洛伦兹力F＝q v B随速度的变化引起相应各力的变化，从而导致物体运动情况也会相应的变化；找准物体运动过程中力、运动的转折点（极值点、临界点），灵活应用动力学、动能定理及能量守恒定律处理；

（2）注意粒子受到的等效重力及平衡位置：

等效重力G等——将重力与电场力的合力G等来替代此二力，即称G等为等效重力；

平衡位置——带电粒子或小球在约束下能保持静止时的位置；

（3）带电粒子在三种场重叠区域并受到轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束下的圆周运动：

①粒子圆周运动中的物理最高点——粒子或小球的平衡位置相对于圆心的对称点。

②粒子受轻绳、内轨道约束下绕圆心做圆周运动的临界条件：粒子经过物理最高点时受到的约束力大于或等于0，即F最高点≥0；

③粒子受轻杆、圆环约束下绕圆心做圆周运动的临界条件：粒子经过物理最高点时的速度大于或等于0，即v最高点≥0；

④粒子变速运动中经过平衡位置时其受到的约束力必最大；粒子或小球受轻绳、内轨道约束时其经过物理最高点时受到的约束力最小且方向必沿半径向圆心；粒子或小球受轻杆、圆环约束时其经过物理最高点时受到的约束力的大小与方向将随其经过此位置的速度大小而不同。

（作者单位：重庆市潼南区第二中学）