弹性地基上输流管道主参数共振的主动振动控制

王忠民， 邹德志， 姜全友(西安理工大学 土木建筑工程学院，西安　710048)



弹性地基上输流管道主参数共振的主动振动控制

王忠民， 邹德志， 姜全友(西安理工大学 土木建筑工程学院，西安710048)

摘要：研究了弹性地基上输送脉动流管道主参数共振的主动振动控制问题。在管道上、下两侧对称的粘贴一对陶瓷压电片，利用压电效应使压电片对管道施加控制力矩。对运动微分方程中由控制力矩产生的Dirac Delta函数对轴向坐标的一阶导数，利用Fourier级数进行展开，再采用微分求积法对控制微分方程和边界条件进行离散化处理，得到了时变系统的状态方程。以管道的横向振动变形和输入控制能量之和达到最小的最优控制原则，对简支输送脉动流管道的时变系统受控前后某些点的挠度响应进行了数值仿真。数值计算结果表明，采用的最优控制方案能有效地控制输送脉动流管道的主参数共振问题。

关键词：输送脉动流管道；弹性地基；微分求积法；最优控制法；压电效应

管道在用于长距离输送石油、天然气或水时，常常被铺设于地下介质中，可简化为弹性地基上的输流管道。多年来，管道振动的控制问题已引起国内外学者的高度重视，一些行之有效的控制方法已被广泛地应用于工程实际中。特别是随着压电智能材料的出现，利用压电材料结合系统动力学、自动控制、测试技术等对振动进行主动控制技术已成为当今振动工程领域一项重要技术。在弹性地基上的输流管道的振动和稳定性研究方面，王忠民等[1]用幂级数法计算了Winkler模型地基和双参数模型地基输流管道的临界流速和复频率，分析了弹性地基对输流管道静力和动力稳定性的影响。王忠民等[2]分析了Kelvin Voigt黏弹性地基上三参量固体模型输流管道的稳定性问题；同年，王忠民等[3]基于Floquet理论，分析了弹性地基上输送振荡流黏弹性管道的动力稳定性区域和不稳定区域。Vassilev等[4]采用Galerkin法和打靶法，分析了变弹性模量Winkler地基模型上悬臂Kelvin模型黏弹性输流管道的动力稳定性。包日东等[5]分析了两端弹性支承输流管道的失稳临界流速，分析了弹性支承刚度、质量比、流体压力和轴向力对失稳临界流速的影响。梁峰等[6]应用复模态方法和平均法研究了Pasternak双参数弹性地基上两端固定输流管道的静态和动态稳定性问题，讨论了地基的线性刚度、剪切刚度及一些管道参数对系统稳定性的影响。梁峰等[7]应用Galerkin法和复模态法研究了Winkler弹性地基上两端简支输流管道的临界流速。在输流管道的振动控制研究方面，邹光胜等[8]对具有线性弹簧支承和三次方非线性运动约束的悬臂输流管道，根据可同时使管道振动变形和控制输入能量达到最小的最优控制原则设计出最优控制器，实现了对输流管道的振动控制。张铠锋[9]对脉动流下两端固定输流管道振动问题，设计了自适应控制器，并验证控制器的有效性。梁峰[10]采用陶瓷压电片作为控制激励器和模态传感器，对弹性地基上脉动流管道的参数共振实施了主动控制。梁建术等[11]应用伽辽金法将运动方程转化成在状态空间下的全耦合有限元方程，分析了折弯式管道高频振荡流体载荷作用下管道系统的耦合振动特性以及振动控制。上述对输流管道的振动控制研究中，运动微分方程化为状态方程采用的方法为有限元法、Galerkin法等，特别是Galerkin法受到了假设的振型函数及其项数(一般取2项)的限制，其精度和应用范围往往有限。

本文以弹性地基上输送脉动流的Kelvin-Voigt黏弹性管道为控制对象，在其上、下两侧对称的粘贴一对陶瓷压电片，利用压电效应使压电片对管道施加控制力矩。采用微分求积法对控制微分方程和边界条件进行了离散化处理，得到了时变系统的状态方程。然后以管道振动变形和输入控制能量达到最小的最优控制原则，对时变系统的主参数共振进行了主动控制，通过数值仿真，验证了控制效果。

1弹性地基上输流管道的控制方程

1.1受控系统微分方程的建立

弹性地基上输送变流速U(t)的管道如图1所示，其地基为Pasternak双参数模型，地基反力F与管道挠度w(x,t)之间的关系为

(1)

式中，K1为地基反力系数，Gp为地基的剪切模量。

图1　弹性地基上输流管道的控制系统Fig.1 Controlled system of pipe conveying fluid resting on elastic foundations

输流管道在工作过程中若长期处于强度达到一定值的振动，极易引起疲劳而断裂。为了抑制或消除振动，采用主动振动控制的策略是非常必要的。方法是：在管道的上、下两侧对称的粘贴一对陶瓷压电片，并对陶瓷压电片施加相反的电压，利用压电效应使压电片产生压缩或延伸，从而在管道上产生一个力偶，称为控制力偶。根据文献[12]，陶瓷压电片对管道作用的控制力偶的大小为

(2)

式中，ψ=EI/EAIA,EI和EAIA分别是管道和压电片对的抗弯刚度，EA为压电片材料的弹性模量，ro、da、t1、φ、V分别为管道的外半径、压电常数、压电片的厚度、压电片在管道外表面的包络半角以及主动控制的输入电压。

(3)

对式(3)关于坐标求一阶导数，到得与集中力偶相应的单位长度的分布力q(x)为

(4)

实际上，式(3)和式(4)就是从集中力偶到线分布力的转换。

对Kelvin-Voigt黏弹性模型材料制成的输流管道，若流体的速度U(t)随时间变化，控制系统的运动微分方程为

(5)

1.2控制微分方程的无量纲化

为了方便起见，引入下列无量纲量

(6)

将式(6)代入式(5)，得无量纲量表示的控制方程

(7)

假设管道内流体的无量纲流速由平均流速u0与简谐变化流速之和组成，即

u(τ)=u0[1+μcos(ωτ)]

(8)

式中，u0为平均流速，μ为简谐激励振幅，且μ为小于1的小量，ω为无量纲的简谐流振动频率，即

(9)

式中，Ω为有量纲的简谐流频率。

将式(8)代入式(7)得控制微分方程

(10)

式中，T=Γ-Π(1-2υδ)为预紧力。

1.3控制微分方程的离散

在控制微分方程(10)中，等号右边的控制项出现了δ函数的一阶导数，从而给问题的求解带来了困难。解决这一问题的方法是，把δ函数的一阶导数展开成傅里叶级数[13]，即

cos(nπξb)sin(nπξ)]}

(11)

式(11)的傅里叶级数展开，不仅简化了计算，而且很方便编程，使问题的求解更容易通过计算机实现。

下面用微分求积法将方程(10)对空间坐标进行离散。微分求积法是将微分方程中函数的各阶导数在给定节点处的值用全域上所有节点的函数值进行加权求和来表示，即把微分方程转化为以节点处函数值为未知量的代数方程组。如函数f(ξ)对ξ的r阶导数在点ξi处表示为

(12)

(13)

利用递推关系得各阶加权系数的关系为

(14)

把式(11)代入方程(10)，其离散方程为

sin(nπξa)sin(nπξi)]},i=2,3,…,N-1

(15)

对两端简支的边界条件，采用权系数法或δ法处理。两端简支的边界条件为

(16)

将方程(15)和边界条件(16)进行整理，得到离散化后的变系数二阶常微分方程组

(17)

(18)

1.4节点的选取

关于节点的选取问题，从数学的角度来看，将其取在比较靠拢边界时，不仅减小了权系数的截断误差，而且提高了微分求积法的求解问题的精度。从力学的角度来看，结构的刚度一般在端点处易发生突变，这将使得端点附近的位移和内力剧烈变化，若想提高函数在这些点处的插值精度，则应在该点周围布置比较多的节点。

采用δ法处理边界条件时，选取非均匀节点分布形式，即

ξ1=0，ξ2=δ

ξN-1=1-δ，ξN=1

(19)

式中N为节点总数，δ一般取为10-6<δ<10-4。

2最优控制器的设计

2.1状态方程的建立

引入状态变量

(20)

将式(17)转换为状态方程

(21a)

Y=CX

(21b)

X(τ0)=X0

(22)

2.2最优控制反馈值

在式(21)中，令μ=0，得常系数状态方程

(23a)

Y=CX

(23b)

线性二次型性能指标J为[15]

(24)

式中，加权矩阵Q通常取为对角阵，且取Q为非负定阵，文中R取为正实数。最优控制框图如图2所示。

图2　最优控制框图Fig.2 Block diagram of optimal control procedure

用极小值原理求解，存在唯一最优控制

v*(τ)=-R-1BTPX(τ)=KX(τ)

(25)

式中，K=-R-1BTP，P是正定对称矩阵，是下列黎卡提代数方程的唯一解

(26)

最优状态X*(τ)是下列微分方程的解

(27)

最优性能指标为

(28)

将式(25)代入式(21a)得

然后，由式(29)和初始条件式(22)求最优状态解。

3算例与分析

在下列计算中，取式(18)中的n=103，节点总数N=15，矩阵M是11×11的单位矩阵。对弹性地基上的简支输流管道，考虑由于脉动流引起的第一阶主参数共振的情形，即选取参数：u0=2.5，预紧力T=0，地基参数k=100，g=20，压电片位置ξa=0.2，ξb=0.4，压电片长度0.2，质量比Mr=0.8，无量纲黏弹性系数α=0.005，无量纲的简谐流振动频率ω=34[10]，激励振幅μ=0.4。对输流管道，在没有控制时，即列向量D取为0，显然B也为0向量。

在没有控制和有控制时，状态变量的初始值均取为

X(t0)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-

0.01,0,0,0,0,0.01,0,0)T

在没有控制时，令方程(21)中的D=0，计算出输流管道上第3、5、8节点(即ξ3=0.017，ξ5=0.146，ξ8=0.5)处的无量纲挠度w3、w5、w8随无量纲时间τ的变化关系如图3(a)、(c)、(e)所示。可以看出，在初始阶段，管道的挠度响应较小。经过一段时间后，尽管有黏弹性阻尼的存在，但脉动流引起的第一阶主参数共振使得管道的挠度响应随时间的变化越来越大，特别是第8节点(管道中点)的挠度响应较大，这将极易引起管道疲劳而断裂，使整个系统不能正常工作。

根据上述的最优控制法，对弹性地基上输流管道的第3、5、8节点实施主动振动控制。先根据式(18)可计算出式(17)中的列阵D，即

D=(-0.063 999 543 891 3，-0.290 095 133 779 71，

0.238 603 193 756 14，-2.737 827 827 655 61，

1.097 682 790 151 35， 0.628 318 530 718 62，

-0.047 276 181 843 99， 0.072 098 064 761 90，

0.005 755 692 081 44，-0.014 254 209 214 95，

0.003 539 043 761 09)T×104

再选取Q=qI (I为单位矩阵)，加权系数q=1，R=4。利用式(29)和选取的初始条件式(22)可以计算出控制后第3、5、8节点的响应如图3 (b)、(d)、(f)所示。由图可以看出，三个节点的无量纲挠度幅值经过较短的无量纲时间后，管道的第一阶主参数共振现象将消失，并趋于稳定的平衡位置。

图3　控制前、后第3、5、8节点无量纲挠度随无量纲时间的变化曲线Fig. 3 The variation between dimensionless deflections of node 3, 5, 8 and dimensionless time under uncontrolled and controlled state

4结论

对弹性地基上输送脉动流的黏弹性管道主参数共振问题，在其上、下两侧对称的粘贴一对陶瓷压电片，基于最优控制理论，对其进行了主动振动控制，结论如下：

(1) 对运动微分方程中由控制力矩出现的Dirac Delta函数对轴向坐标的一阶导数，利用Fourier级数对其进行展开，然后采用微分求积法离散方程和边界条件。与传统的Galerkin法离散相比，有效避免了假设模态函数及其项数的选取，且适合于各种边界条件输流管道运动微分方程的离散。

(2) 对弹性地基上输送脉动流的管道采用最优控制法时，状态方程是时变的。首先对去掉脉动部分后的定常系数状态方程求解最优反馈控制值，然后再对时变的状态方程进行求解。结果表明，本文给出的控制器可以使输流管道的主参数共振在较短时间内得到很好的拟制，控制效果良好。

参 考 文 献

[ 1 ] 王忠民, 冯振宇, 赵凤群,等. 弹性地基输流管道的耦合模态颤振分析[J]. 应用数学和力学, 2000, 21(10): 1060-1068.

WANG Zhong-min, FENG Zhen-yu, ZHAO Feng-qun, et al. Analysis of coupled mode flutter of pipes fluid on the elastic foundation[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2000, 21 (10): 1060-1068.

[ 2 ] 王忠民, 张战午, 李会侠. 黏弹性地基上黏弹性输流管道的稳定性分析[J]. 计算力学学报, 2005, 22(5): 613- 617.

WANG Zhong-min, ZHANG Zhan-wu, LI Hui-xia. Stability analyses of viscoelastic pipes conveying fluid on viscoelastic foundation[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2005, 22(5): 613-617.

[ 3 ] 王忠民, 张战午, 李会侠. 弹性地基上输送振荡流黏弹性管道的动力稳定性[J]. 机械工程学报, 2005, 41 (10): 57-60.

WANG Zhong-min, ZHANG Zhan-wu, LI Hui-xia. Dynamic stability of viscoelastic pipes conveying pulsating fluid on the elastic foundation[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2005, 41(10): 57-60.

[ 4 ] Vassilev Vassil M，Djondjorov P A. Dynamic stability of viscoelastic pipes on elastic foundations of variable modulus[J]. Journal of Sound and Vibration, 2006, 297(3): 414-419.

[ 5 ] 包日东, 闻邦椿. 分析弹性支承输流管道的失稳临界流速[J]. 力学与实践, 2007, 29(4): 24-28.

BAO Ri-dong, WEN Bang-chun. Analysis of critical instability flowrate of pipeline conveying fluid with elastic supports[J]. Mechanics in Engineering, 2007, 29(4): 24-28.

[ 6 ] 梁峰, 金基铎, 杨晓东,等. 弹性地基上输流管道的静态和动态稳定性研究[J]. 工程力学, 2010, 27(11): 166-171.

LIANG Feng, JIN Ji-duo, YANG Xiao-dong，et al. Static and dynamic stabilities of fluid pipes on elastic foundation[J]. Engineering Mechanics, 2010, 27(11): 166-171.

[ 7 ] 梁峰，金基铎，李伟杰，等. Winkler地基上输流管道的临界流速分析[J]. 机械强度, 2011, 33(1): 20- 23.

LIANG Feng, JIN Ji-duo, LI Wei-jie, et al. Critical velocity of pipes conveying fluid resting on Winkler foundation[J]. Journal of Mechanical Strength, 2011, 33(1): 20-23.

[ 8 ] 邹光胜，金基铎，闻邦椿. 受约束悬臂输流管振动的最优控制[J]. 东北大学学报:自然科学版, 2003, 25 (3): 277-279.

ZOU Guang-sheng, JIN Ji-duo, WEN Bang-chun. Optimal control of vibration in restrained cantilever piping for fluid delivery[J]. Journal of Northeastern University:Natural Science,2003, 25 (3): 277-279.

[ 9 ] 张锴锋. 两端固定脉动流管道振动的白适应控制[J]. 机械设计与制造, 2008(12):149-151.

ZHANG Kai-fen. Adaptive control of vibration of aclamped-clamped pipe conveying pulsating fluid[J]. Machinery Design & Manufacture, 2008(12):149-151.

[10] 梁峰. 输流管道横向振动机理及其控制研究[D]. 沈阳：东北大学，2009.

[11] 梁建术, 王涛, 李欣业. 基于Ansys的输液管道系统的振动控制分析[J]. 机械强度，2012, 34 (4): 486-490.

LIANG Jian-shu, WANG Tao, LI Xin-ye. Vibration control analysis of liquid conveying pipe system based on Ansys[J]. Journal of Mechanical Strength, 2012, 34 (4): 486-490.

[12] Lin Y H,Chu C L. Comments on “Active model control of vortex-induced vibrations of a flexible cylinder”[J]. Journal of Sound and Vibration, 1994, 175(1): 135-137.

[13] 严宗达. 结构力学中的富里叶级数解法[M]. 天津: 天津大学出版社, 1989.

[14] 王鑫伟. 微分求积法在结构力学中的应用[J]. 力学进展, 1995, 25(2): 232-240.

WANG Xin-wei. Differential quadrature in the analysis of structural components[J]. Advances in Mechanics,1995,25(2):232-240.

[15] 顾仲权, 马扣根, 陈卫东. 振动主动控制[M]. 北京：国防工业出版社，1997.

Active vibration control for principal parametric resonance of pipes conveying fluid resting on an elastic foundations

WANGZhong-min,ZOUDe-zhi,JIANGQuan-you

(School of Civil Engineering and Architecture, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China)

Abstract:The active vibration control for principal parametric resonance of a pipe conveying pulsating fluid resting on an elastic foundation was studied. Using piezoelectric effect of piezoelectric materials, a pair of piezoelectric ceramic patches was pasted symmetrically on above and below the pipe to impose control moment to the pipe. The first derivative of Dirac Delta function with respect to the axial coordinate resulting from a control moment term of the differential equations of motion was expanded to a Fourier series. Employing the differential quadrature method, the differential equations of motion and boundary condition of the pipe were discretized, and then the state equations for the time-varying system were derived. The target of the optimal control was that the sum of transverse vibration energy of the pipe conveying fluid and the input control energy could be minimized simultaneously. The numerical simulations for some points’ deflection responses of a simply supported pipe conveying pulsating fluid were implemented under uncontrolled and controlled. The numerical results showed that the optimal control scheme can effectively control the principal parametric resonance of the pipe conveying pulsating fluid.

Key words:pipes conveying pulsating fluid; elastic foundation; differential quadrature method; optimal control method; piezoelectric effect

中图分类号:TV134

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.029

收稿日期：2014-07-18修改稿收到日期：2015-01-20

基金项目：国家自然科学基金(11272254);陕西省自然科学基础研究计划项目(2015JM1029)

第一作者 王忠民 男，博士, 教授, 博士生导师，1957年6月生