直角三角形课程难度变化分析及其教学指导的探究

王洁莲

摘要：本文借助史宁中教授等人的课程难度量化分析模型，对我国2011年的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）与2000年的《全日制九年义务教育初中数学教学大纲（试用修改版）》（以下简称《大纲》）中“等腰三角形”的内容难度进行对比分析，以此来探究初中几何课程中直角三角形内容的难度变化，希望可以对教师的教学实践有指导性的意义。

关键词：直角三角形；课程难度；课程实施时间；教学指导

中图分类号：O1236文献标识码：A文章编号：1674-120X（2016）08-0061-02收稿日期：2015-12-04

一、背景

戴着三角形学界皇冠的直角三角形，以自身的特殊性和重要性，被人们世代探索。它在初中几何中起着承上启下的作用，在数学学习以及生活生产中被广泛应用。本文借鉴史宁中等人的课程难度量化分析模型N=αG/T+（1-α）S/T对直角三角形知识进行难度定量分析，比较2011年的《标准》和2000年的《大纲》中该知识点的难度变化，探讨此难度变化对教师教学实践的指导作用。

二、难度量化比较

1广度比较

通过对比《大纲》和《标准》可以得知，直角三角形知识点有了变化。相比于《大纲》，《标准》中增加了一个知识点：掌握“通过直角边、斜边作直角三角形”。经过仔细查阅，取《标准》的课程广度系数G1=10，《大纲》的课程广度系数为G2=9。

2深度比较

总体上，《标准》和《大纲》中该模块内容课程深度普遍升高。例如：

（1）三角形符号意识的提升，由认识变为掌握；

（2）“根据题设和概念的意义、公理、定理进行推理论证”由“初步掌握”改变为“掌握”；

（3）“斜边、直角边”定理判定直角三角形全等由“会用”提升为“掌握”；

（4）“直角三角形的重心概念及意义”由“认识”提升为“探索并了解”。

但同时，某些知识点难度也有相对的降低。例如：

（1）“勾股定理及逆定理的判定和应用”由“掌握”降低为“体验”；

（2）“运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题”由“掌握”降低为“会”。

综合深度赋值表，取《标准》的课程深度=30，《大纲》的课程深度=26。

3课程实施时间比较

分析《标准》《大纲》中等腰三角形知识点的课程实施时间得知，两者对直角三角形的课程内容完成的所需时间基本一致，取《标准》的课程实施时间=8，《大纲》的课程实施时间=7。

4难度比较

基于前面三个方面得出的数据，代入课程难度量化分析模型，可以得到《标准》《大纲》的课程难度分别为N1=225，N2=226（其中，α=06）。显然，在这个模型下，《标准》中直角三角形知识的课程难度比《大纲》中的低001，即课程难度降低了001。

三、教学启发

根据以上得出的数据易知，直角三角形知识的课程难度降低了。由于《标准》和《大纲》中直角三角形的课程广度、课程实施时间没有发生很大的变化，所以影响该知识点难度变化的主要因素是课程深度。下面将具体分析课程广度、课程深度、课程实施时间、课程难度四方面对教学实践的启发和指导。

1课程广度变化对教学实践的指导

《标准》中增加了“掌握通过直角边、斜边作直角三角形”这个知识点。这使得三角形知识的连贯性和系统性得以提高，教师思维的逻辑性以及目的性更为明确。现以两种方法来解析该知识点。

方法一：

（1）在直线L上任意取两点为M、N；

（2）作线段MN的中垂线交MN于点A；

（3）在中垂线上取点B，使AB为直角边长；

（4）以点B为圆心，斜边为半径作圆，交直线L于点C；

（5）连接BC， 三角形ABC即为直角三角形。

方法二：

（1）以斜边为半径作圆O，并取直径AB；

（2）以点A为圆心，直角边为半径作圆P交圆O两点，任取一点为C；

（3）连接AB、BC，三角形ABC即为直角三角形。

2课程深度变化对教学实践的指导

由以上直角三角形课程深度变化的对比分析可知，《标准》对《大纲》中直角三角形知识提出了新的要求。三角形知识的程序性和陈述性需要相协调才能共同得到提高。该种变化可以更高程度地使教师在数学教学中激发学生的学习兴趣，提高他们的数学思维，端正他们的数学思想，让学生掌握恰当的学习方法。这便要求教师在教学中注意层次性和数学思维的逻辑性等。就《标准》的深度变化，现在对以上的结论举相应的例子证明。

（1）三角形学习中会遇到很多专用符号，如△，∠，∴，∵等较为常见的，《标准》中对此提出了更高要求，要求学生不仅会辨别，更要会掌握、熟悉地写出。教师在教学中要从最基本的知识点出发层层深入展开教学。这种变化的好处是落实了基础课程目标，增加了教师教学的可操作性。

（2）《标准》较《大纲》而言，更注重学生推理能力的锻炼和加强，这有利于教师培养学生学习的自主性和思维的逻辑性。同时，推理验证需要板书和语言说明，这有利于锻炼教师的板书基本功和语言基本功。

（3）《标准》和《大纲》都有“斜边、直角边”定理判定直角三角形全等这个知识点，但是要求却有所提高。这足以说明该知识点的重要性。直角三角形是一类特殊的三角形，因此对比于其他一般的三角形，它所具备的性质也是比较特殊的。“斜边、直角边定理”在直角三角形的学习中起到桥梁作用，一是承接了上述提到的作图要求点，二是为学习特殊的三角形作了铺垫。现在以一例子加以说明：

例1：三角形ABD和三角形BAC，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD。求证BC=AD。

解析：根据直角三角形的特殊性质，我们可以知道，若能证明两个三角形都是直角三角形，“斜边、直角边”定理就能帮助解决问题了。由AC⊥BC，BD⊥AD易知两者都为直角三角形，进而由全等三角形性质得知BC=AD。

这道题简单而重要，符合学习目的，贴近学生思想。教师在教学中要注重基础性知识的讲解，使教学方向更为明确。

（4）相对《大纲》，《标准》在直角三角形的学习中加深了对三角形重心的理解和学习。这有利于疏通知识的“管道”，让分散的知识点连贯起来，提高教师教学的可操作性和条理性，同时数学思想的思辨性和确定性也能得到充分体现。

现以一例子加以说明：

例2：直角三角形的斜边长为18，求三角形的重心到斜边中点的距离。

解析：根据重心的概念得知，三角形三边中线的交点即是重心。再由直角三角形的特殊性质得知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。故由题意可知斜边上的中线长为9。又因为重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1，因此可求出三角形的重心到斜边中点的距离为3。

这道题主要运用直角三角形的特殊性质和重心概念及性质来解决。

（5）通过对比《标准》和《大纲》，《标准》中直角三角形该模块对“勾股定理及逆定理”的深度要求降低了，这不仅为学生减压，也为教师减压。对学生而言，有利于激发学生学习的主动性和积极性，提高学习效率。对教师而言，有利于明确教学内容和方向，使教学更有层次性和科学性，避免过多介绍难题，要注重基础题。对于勾股定理，现以一例子加以说明：

例3：等边三角形ABC的边长为2，过点A作BC边上的高AD，垂足为D。求三角形ABC的面积。

解析：根据等边三角形“三线合一”的性质得知，BD=CD=1，在直角三角形ABD中，由勾股定理有AB2=BD2+AD2，故可求出高AD，再根据三角形的面积公式进而求出其面积。

对于勾股定理的逆定理，现以一例子加以说明：

例4：已知在三角形ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>1）。求证：∠C=90°。

解析：由勾股定理知道，直角三角形满足两直角边的平方的和等于斜边的平方。同理，若三角形的三边满足此种关系，该三角形即为直角三角形。因a2+b2=c2，故三角形ABC为直角三角形，易得证∠C=90°。

3课程实施时间变化对教学实践的指导

根据上面课程实施时间的比较分析，《标准》和《大纲》中直角三角形的课程实施时间基本一致，这从一定程度上提高了教师对知识点的可操作性以及教学的层次性。面对直角三角形知识的“广而浅”的情景，教师要科学、合理地安排授课时间和授课内容，多注重基础性知识的讲解和类型题的练习，少普及难度高、偏离教学重难点的题目。

4课程难度变化对教学实践的指导

总体而言，直角三角形的课程难度降低了，面对该模块难度的下降，教师的教学实践需要正确的启发和指导。难度的降低在一定程度上提高了教师课堂主动性和可操作性，有利于教师思考如何在课堂上把直角三角形知识讲授好，如何能有效地吸引学生的注意力以提高课堂效率等问题。

由以上分析得知，课程广度、课程深度、课程实施时间这三大要素的改变会使课程难度发生改变，三者对教师教学实践的指导总的来说就是为了探讨课程难度对教师教学实践的指导。相比《大纲》，《标准》对教师的教学实践做出了相应的改善。教师在数学教学中要注重数学思维、数学思想和数学方法的有效结合，也就是知识的综合性和层次性，使数学思维的逻辑性、知识的连贯性、方法的可行性、能力的创新性和教学的可操作性统一协调，让教学更顺利地进行。初中几何教学在初中数学教学中地位很高，对我国数学教学也具有非常重要的意义。直角三角形的知识面较为广泛，本文举一些典型例子说明。