分形几何在岩土力学中的应用

■李达铭

（广东省地质局第八地质大队广东梅州514000）

分形几何在岩土力学中的应用

■李达铭

（广东省地质局第八地质大队广东梅州514000）

分形（fractus）是拉丁语词汇，它的含义是不规则或支离破碎的意思。因为在自然界中，不规则的事物现象更为普遍，所以分形几何拥有着较为广泛的应用前途。本文基于分形几何的基本概念和实践方法，简要探讨了岩石破碎、断裂的分形维问题。

分形几何 分形维 岩土力学 破碎断裂

著名数学家，“分形之父”Mandelbrot曾经说过“在实际世界中，云不是球、山不是锥、树皮不平滑、海岸线也不是圆的，所以人类有必要对他们进行分形。”

1　分形几何学

分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何学的研究核心是分形维数，它可用于解释诸多物理现象，处理某些极不规则的物体形状问题。

Mandelbrot在测量研究中计算出英国的海岸线分形维D≈1.26，可见在分形几何中的分形维数可以不是整数，这一点在经典几何中非常不可思议，也说明了在数学定义上分形几何的严格自相似性。而本文阐述的自然界中事物的分形几何概念则仅在特定范围内具有自相似性，例如云的分形，它只能在100～106km2的特定尺度内才具有自相似意义。

在实际问题解决过程中，已有实践经验与案例总结出了两种分形基本方法。

1.1分形模型法

自然中任何事物的不规则复杂现象都基于力学、物理学等环境条件产生，所以分形几何可由分形维这一几何变量来进行刻画，它能够实际反映自然界事物形状的物理实质变化规律。从实际角度看，可以根据自然界事物的分形特点来简化某些数学分形模型，进而在数学结构上计算出其相对应的分形维数，并探究事物分形维与物理量之间的相关性，解释它们的预测物理本质。分形模型法的基本核心就是对分形维的计算。

1.2实验测定法

实验测定法，对于某些自然界中事物在结构测试表现出非常规规则性，如果判定物体具有统计自相似性，则可以通过图像处理法、覆盖法或计算机模拟技术来测定自然界某些物体结构的分形维，再通过结果寻找其与物理本征量之间的关系。在寻找其相互关系的同时，也能揭示某些新的数学规律[1]。

2　基于分形几何理论的岩石力学应用研究

在采石场或矿区存在许多已破碎岩石，它们都是未经人工加工的重量、形状、大小各不相同的物体。这些岩石中存在许许多多不同的形面，它所代表的就是破碎过程中的分形。利用分形几何理论，可计算破碎岩石表面的分形维数与体积分形维数D，亦可验证它们的尺度不变性与自相似性特征。

2.1岩石碎块的分形维数分析

基于分形几何理论来分析破碎岩石的破碎块度频率分布时，应该首先明确它的指数形式为：N(m)/NT=exp[-(m/μ)ν]

公式中，N(m)表示质量超过m的岩石碎块总数，NT则表示岩石碎块的总数，表示岩石碎块的平均质量，所以上述指数形式的另一种表达形式即为：N(m)=Cm-b

公式中，表示一般常数，而当（岩石碎块半径）时，则表明所表示的即为一个分形分布，而且此时还会形成这一关系。另一块度频率分布的具体函数表达形式，即质量分布函数表示为：

M（R）/MT=1-exp[-(R/σ)α]

在质量分布函数中M（R）表示半径＜R的岩石碎块累计总质量，而MT表示岩石碎块总质量，表示岩石碎块的平均尺寸，如果有，则可以总结出以下算式：M（R）/MT=（R/σ）α

根据上式可求得：dM∝Rα-1dR

可以证明岩石块度的增加是与其增加的质量是具有关联性的，并可得出：dN∝R-3dM

将上述算式代入到dN∝R-3dM可以得出：D=3-α

以上一系列运算表明岩石碎块的幂律质量分布应该等同于分形分布关系，因此岩石碎块的密度函数f(m)也应该相应满足幂律分布规律，即：f(m)=Am-s

考虑到上述算式所表达的岩石碎块质量应该在m与dm+m块数质量之间，所以总结得出破碎岩石的分形维数D为：D=3（S-1）

综上所述，岩石碎块密度函数的幂律分布也表示了它的分形分布规律。

2.2岩石断裂破损的分形分析

采用分形几何理论可以研究岩石的断裂破损状况，当岩石发生断裂后，它的断裂表面一定是凹凸不平的，类似于一个分形表面。如果对其断面进行分形分析，则可以得出分形维数D以及岩石断裂能Gf之间的关系为：Gf=K1-K2D

关系式中的K1与K2作为材料常数出现，它也表明岩石断裂表面的不规则性是由于断裂时能量的消耗以及微结构复合效应，此时可以通过岩石的断裂表面横截面的分形特征来测算分形维。

就以裂纹分叉这一岩石断裂的物理现象为例，到目前为止还没有一个较为合理的解释。而对于岩石这种非均质材料来说，目前国际上常用复变函数理论来研究它裂纹分叉的非规则性。当裂纹分叉使得岩石的断裂韧性值增加时，其推导过程就会越来越复杂，本文给出美国物理学家Smith所采用的基于复变函数理论的断裂韧性计算公式为：K/K0=√（2cosπβ/2）D-1

以上计算公式利用到了分形几何理论进行推导，代入数据就可以推导出断裂韧性的计算值，当分形维数D为：

D=lg3/lg（2cosπβ/2）

就可以利用分形理论对断裂岩石的裂纹分叉进行非规则几何效应分析，推理出微结构对于岩石断裂韧性的具体影响。

3　总结

在岩石力学中，岩石断层的分形维特征及规律对于演示微观断裂及损伤演化判定是相当重要的，它的自相似性与维数内涵都深层次揭示了自然界中较为复杂的自然现象。除几何分形这种线性分形以外，像多重分形、模糊分形这些非线性分形也非常值得推敲研究，因此分形几何理论在岩石力学中的应用研究道路依然任重道远。

[1]林沛元,汤连生,桑海涛等.分形几何在岩土力学研究中的过去、现在与未来 [J].西北地震学报,2012,33(z1):24-29.

[2]宋丽娟,许模,卢书强等.节理产状极点分布的分形维改进方法 [J].岩石力学与工程学报,2013(z2):3303-3308.

[3]陈文丽.基于分形几何的高层建筑设计研究 [J].城市建设理论研究（电子版）,2013 (20).

F407.1[文献码]B

1000-405X（2016）-7-469-1