新旧人教版“有理数的乘法”教材比较分析

筅四川省泸县教研室　金　俊



新旧人教版“有理数的乘法”教材比较分析

筅四川省泸县教研室金俊

新人教版教材（2012年6月第1版，以下简称新教材）在“有理数的乘法”这一节内容的编排上与旧人教版（2007年3月第3版，以下简称旧教材）有很大的区别，可以说是“另起炉灶”完全不同.现就新旧两个版本的教材内容加以比较分析.

一、导入语的变化

旧教材的导入语是“我们已经熟悉正数及0的乘法运算，引入负数以后，怎样进行有理数的乘法运算呢？”

新教材的导入语是“我们已经熟悉正数及0的乘法运算，与加法类似，引入负数后，将出现3×（-3），（-3）×3，（-3）×（-3）这样的乘法.该怎样进行这一类的运算呢？”

新教材增加了“与加法类似”，一方面，从学生已有的知识、经验入手找到了新知识的“生长点”，学生易理解、接受；另一方面，也向学生渗透了“类比”的数学思想方法.

新教材将旧教材笼统的“有理数的乘法运算”具体为“3×（-3），（-3）×3，（-3）×（-3）”等乘法算式，更具体，目标更明确.且一个式子代表一种类型：3×（-3）代表正数乘负数，（-3）×3代表负数乘正数，（-3）×（-3）代表负数乘负数.

二、法则探索过程的变化

1.旧教材

如图1，一只蜗牛沿直线爬行，它现在的位置恰在直线l上的点O.

图1

（1）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？

（2）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置？

（3）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置？

（4）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位置？

为区分方向，我们规定：向左为负，向右为正，为区分时间，我们规定：以前为负，以后为正.

（1）3分后蜗牛应在l上点O右边6cm处（图2），这样可以表示为（+2）×（+3）=+6；①

图2

（2）3分后蜗牛应在l上点O左边6cm处（图3），这样可以表示为（-2）×（+3）=-6；②

图3

（3）3分前蜗牛应在l上点O左边6cm处（图4），这样可以表示为（2）×（-3）=-6；③

图4

（4）3分前蜗牛应在l上点O右边6cm处（图5），这样可以表示为（-2）×（-3）=6.④

图5

观察①～④式，根据你对有理数乘法的思考，填空：

正数乘正数积为______数；

负数乘正数积为______数；

正数乘负数积为______数；

负数乘负数积为______数；

乘积的绝对值等于各乘数绝对值的______.

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

任何数与0相乘，都得0.

……

由上可知，旧教材借助数轴，通过蜗牛在直线上运动的实例来研究有理数的乘法.书中研究了4个问题：第一个问题，正数与正数相乘，用以前所学的知识容易理解；第二个问题，类比有理数加法的讲法，向右为正，向左为负，不难得出负数与正数相乘的结果；第三个问题，不仅规定了向右为正向左为负，还规定了以前为负以后为正，这是一个关键点，学生比较难理解；第四个问题，有了第三个问题作铺垫，继续第三个问题的思路，第四个问题就比较好理解了.

纵观旧教材有理数乘法的探索过程，它的优点是：用蜗牛在直线上运动的实例来研究有理数的乘法，化抽象为直观，非常符合初一学生的年龄特征和认知特点.它的不足有：一是规定多.如规定“向右为正，向左为负，以前为负，以后为正”，有学生提出“为什么不直接规定出有理数的乘法法则”.二是头绪多.一会儿向右，一会儿向左，一会儿现在以前，一会儿现在以后，容易把学生搞糊涂.三是法则的得出牵强附会，说服力不足.分别只用了一个式子就得出“正数乘正数积为正数；负数乘正数积为负数；正数乘负数积为负数；负数乘负数积为正数”，编者的用意在于通过实例用不完全归纳法得出有理数乘法的法则，推理方法是合情推理，但实例太少不足以服人.

2.新教材

思考：观察下面的乘法算式，你能发现什么规律吗？

3×3=9；

3×2=6；

3×1=3；

3×0=0.

可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3.

要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：

3×（-1）=-3；

3×（-2）=_______；

3×（-3）=_______.

思考：观察下面的算式，你又能发现什么规律？

3×3=9；

2×3=6；

1×3=3；

0×3=0.

可以发现，上述算式有如下规律：随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3.

要使上述规律在引入负数后仍然成立，那么你认为下面的空格应填写什么数？

（-1）×3=_______；

（-2）×3=_______；

（-3）×3=_______.

从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，可以归纳为：正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负数.积的绝对值等于各乘数绝对值的积.

思考：利用上面归纳的结论计算下面的算式，你发现有什么规律？

（-3）×3=_______；

（-3）×2=_______；

（-3）×1=_______；

（-3）×0=_______.

可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3.

按照上述规律，下面的空格可以各填什么数？从中可以归纳出什么结论？

（-3）×（-1）=_______；

（-3）×（-2）=_______；

（-3）×（-3）=_______.

可以归纳出结论：负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积.

一般地，有理数的乘法法则为：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0.

……

可见，新教材对有理数乘法法则的得出与旧教材完全不一样，它是通过三个“思考”，从学生熟悉的正数和0的乘法运算出发，引导学生找规律，猜想出正数与负数相乘，负数与负数相乘，负数与0相乘的运算法则.这样设计找准了新知识的“生长点”，且强调了新的运算法则是在原有运算规律仍然成立的基础上得出来的.

三个“思考”是循序渐进的.第一个思考算式左边都是3×□的形式，先让学生根据已有知识概括规律，然后在“要使这个规律在引入负数后仍然成立”的引导下，给出3乘一个负数的结论.在此基础上，后两个“思考”就可以让学生通过模仿独立解决了.第二个“思考”解决之后，教材进行了小结，归纳出正数乘正数、正数乘负数、负数乘正数三种情况的结论.然后通过第三个“思考”，先运用得到的结论解决（-3）×正数的问题，得出规律后，再解决（-3）×负数的问题，并进一步归纳出“负数×负数”的运算结果.

三、新教材建议

（1）新教材在第一个和第二个“思考”中用“要使上述规律在引入负数后仍然成立”的语句，有老师反映在逻辑上讲不通，给人的感觉成了不是要去发现正数与负数相乘、负数与负数相乘的规律，而是用正数与正数相乘的规律去硬套正数与负数、负数与负数的乘法，笔者也有类似的感觉.教材之所以要用这样的语句是为了强调有理数乘法法则其实是一种规定，给出这种规定的原则是“使原有的运算律保持不变”，只有这样才能使数学的发展建立在原有的基础上.但这样就导致了逻辑上的不顺畅，笔者建议把“要使上述规律在引入负数后仍然成立”改为“按照上述规律”，这样在逻辑上就比较顺畅了.

（2）新教材第一个和第二个“思考”的内容编排不科学，影响了思维的连续性.以第一个“思考”为例，第一个“思考”的“3×3=9，3×2=6，3×1=3，3×0=0”与“3×（-1）= -3，3×（-2）=______，3×（-3）=______”之间插入了一段文字，这种编排方式不利于学生自觉地把上下式子联系起来考虑，从而给思维造成了障碍，建议可将中间那段文字放到右半边，把上下式子靠近.第二个“思考”也可这样处理.

教材是教学的材料，教学设计必须符合学生的实际.编得再好的教材，都不可能完全适应每个教师、每个学生，因此教师在教学中既要尊重教材，但又不能拘泥于教材，要根据学生的实际情况灵活处理，大胆地对教材加以整合，这样的教学才是最有效的教学.