以本为本：复习课如何“用教材教”——以勾股定理复习课教学为例

2016-04-13江苏省如皋市城北初级中学

中学数学杂志 2016年4期

☉江苏省如皋市城北初级中学　周　兵

☉江苏省如皋市城北初级中学周兵

2015年《中学数学》（下）发表了多篇关于勾股定理新授课的课例研究，老师们对勾股定理起始课研究颇见功夫，反映了各自在理解数学上的深度，笔者受益其中.对比之下，勾股定理复习课的研究却并不多见，本地区近期在一次教研活动中就选择了该课题展开教学研讨，笔者有幸执教勾股定理复习课，由于创造性地使用教材，开发教材内容，紧贴教学主线，融通相关内容，取得较好的教学效果，本文呈现该课的教学流程，并跟进阐释教学立意，提供研讨.

一、勾股定理复习课教学流程

教学环节1.直角三角形三边长的特殊关系

问题1：本章我们学习了勾股定理，勾股定理主要揭示了直角三角形三边长的特殊关系，这就是两条直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，可以求出AB=？（学生口答出5之后，找一个学困生说明过程，巩固勾股定理）

图1

设计意图：复习课开课阶段，低起点起入，吸引学生全员参与，而这个特殊的数据为下一复习环节提供对照.

问题2：我们是如何证明勾股定理的呢？你学会了哪些方法？

设计意图：安排学生上台展示自己理解的勾股定理证明方法，对于不同的证明方法要求学生概述思路，并阐释这种证明方法的关键之处是什么？体现了怎样的数学思想方法？比如，赵爽弦图体现了中国古代数学家“出入相补原理”等.这里的追问与对话，不仅限于展示学生与教师之间，教师也可追问台下学生对台上展示学生之间的展开互动、对话.

图2

教学环节2.已知三角形三边长，如何判断直角三角形

问题3：我们在研究了勾股定理之后，还研究了它的逆命题，如图2，已知一个三角形的三边，如何判断直角三角形呢？（预设：根据勾股定理的逆定理，可以判定图2中的∠F是直角）

问题4：我们也知道，与勾股定理的证明方法众多相比，勾股定理的逆定理的证法就少了很多，你学会了哪种证法呢？

设计意图：安排学生上台对照图1、图2进行讲解，即先构造一个直角三角形，使得两条直角边等于图2中的两条边长，这里在图1中利用勾股定理计算出斜边AB= 5=DE，从而根据“SSS”证明△DEF≌△ABC，从而得出图2中的∠F=∠C=90°.

问题5：在学习这章过程中，有人认为需要积累很多勾股数，这对于提升解题效率很有帮助，你们积累了哪些勾股数组呢？（学生口答，追问补充）

拓展1：古希腊数学家、哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为对吗？如果对，说明理由.（需要安排学生独立演算，然后汇报自己的演算结果）

拓展2：有人还把柏拉图上述结论进一步拓展，提出命题：如果m，n表示大于1的不等整数，a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2，那么a，b，c为勾股数.（继续安排学生演算之后再汇报它们的证明过程，证明之后，安排学生利用这个规律，举例写出两组勾股数组）

拓展3：有人指出（3，4，5）可以看成是方程x2+y2=z2的一个正整数解，你能否再找出一个正整数解吗？（学生会受到勾股数组启示，写出很多）你能否写出这个三元二次方程的“通解”吗？（预设：x=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2，其中m，n表示大于1的不等整数）

教学环节3.例题讲评

图3

例1如图3，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD= 12，AD=13，∠B=90°.

（1）连接AC，求AC的长；

（2）求证：AC⊥CD；

（3）求点C到AD的距离；

（4）请你再设计一个问题，并在小组内交流，再到全班展示.

图4

（1）若正方形的周长为16cm，求△AEF的周长；

（2）若正方形的边长为a，求△AEF的周长（用含a的式子表示）；

（3）有人指出图4中，一共有4个直角三角形，你觉得呢？理由是什么？

预设讲评：这两个例题改编自教材习题，设计了系列问题，既需要使用勾股定理，又需要运用逆定理.教学时可以使用PPT的动画渐次呈现问题（如图5），使得学生的思维有序深入.教师通过对话、启发、追问，把更多学生的思维吸引到问题探究上来.

图5

教学环节4.课堂小结

小结：从勾股定理全章来看，我们不仅学会了勾股定理的原命题、逆命题，也感受到原命题与逆命题之间的差异.那么在几何学习时，是否原命题成立，逆命题也一定成立呢？请举例说说.（预设学生举例，比如对顶角相等）我们也学到了不少定理、逆定理，请举例说说.（预设学生举例，比如等边对等角、等角对等边）

附：当堂检测题

（1）请写出方程“x2+y2=z2”的两个正整数解.

（2）在例2中，给出“新定义”：如果一个直角三角形的两条直角边之比为1∶2时，称该直角三角形为“半正切三角形”.请指出图4中所有的“半正切三角形”.

（3）设直角三角形的两条直角边、斜边、斜边上的中线和高分别为a，b，c，m，h.

二、教学立意的进一步解读

1.以本为本，复习课也要重视“用教材教”

人民教育出版社中学数学室原主任章建跃编审曾指出：“教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的.”［1］应该承认，当前各级赛课活动、示范课中，对于新授课的教学研讨，老师们普遍重视教材的理解和创造性的使用，然而在一些常态的复习课中，离开教材找来一些考题、习题充当复习学案内容的现象还不在少数.正是基于上述认识，我们在预设本课教学内容时努力理解教材，熟悉人教版八年级教材的同行应该知道，在勾股定理章末小结时，教材上提供了5个问题：

（1）直角三角形三边的长有什么特殊的关系？

（2）赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？

（3）已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你作判断的依据是什么？

（4）证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？

（5）一个命题成立，它的逆命题未必成立.请举例说明.

这样来比对上文中的课例路径，可见，我们预设的一条教学主线正是基于教材上的这“5个问题”.此外，本课中的例题、拓展中的问题都选自教材习题，也是我们重视教材、以本为本的直接体现.

2.对话教学，备课时预设系列追问是前提

当前教学倡导对话已深入人心，然而如何让这一理念落地，却还有很长的路要走.一个现实的做法就是，在备课时减少选题的数量，而走上精选母题的道路，并针对入选的母题展开系列追问，通过如上文中PPT动画方式渐次呈现系列问题的策略，每呈现一个问题，就安排学生思考、表达，教师在这个过程中起到主导发问、启发探究、穿针引线的作用，把问题从一个学生引向另外的学生，促进师生之间的互动、生生之间的对话互动，让教学对话走向深入，吸引学生更多的思维参与.特别是，我们不仅在例题教学环节加强了系列设问，在课堂最后的检测题中，还注意了例2的互动、拓展，开发一个“新定义”问题.