地震概率安全分析中地震易损度不确定性分布的研究

王玉卿，王梦溪，杜金雁

地震概率安全分析中地震易损度不确定性分布的研究

王玉卿，王梦溪，杜金雁

（中国核电工程有限公司，北京100840）

核电厂地震概率安全分析（PSA）中，构筑物和设备的地震易损度是在给定地面运动强度条件下的条件失效概率。地震易损度的不确定性分布较为复杂，在地震PSA定量化过程中难于处理。本文针对地震易损度的数学模型进行研究，采用数值方法求解地震易损度的均值和方差。在均值和方差相等的条件下，以几种常见的不确定性分布类型近似地震易损度的不确定性分布。通过比较可以看出，Beta分布可以较为准确地描述地震易损度的不确定性分布。

地震概率安全分析；地震易损度；不确定性分布；Beta分布

地震概率安全分析（Probabilistic Safety Assessment，PSA）是一种全面、综合评估核电厂地震风险的方法，其三个基本组成要素包括地震危险性分析、地震易损度分析和电厂响应分析［1-2］。

地震易损度分析通过对地震条件下核电厂的构筑物、系统和设备（Structure System or Component，SSC）的地震反应及抗震能力的最佳估计，评价核电厂SSC在给定地震地面运动强度条件下的条件失效概率［2］，即SSC的地震易损度。在地震PSA最终的定量化分析中，要综合地震危险性分析和地震易损度分析的结果，对通过电厂响应分析建立的地震PSA模型进行定量化计算。地震易损度具有较为复杂的不确定性分布，在地震PSA的定量化过程中较难处理。

本文对地震PSA中地震易损度的数学模型进行研究，采用数值方法求解地震易损度均值和方差。在基本保证均值和方差相等的条件下，以几种常见的分布类型近似地震易损度的不确定性分布，并通过概率密度函数曲线的比较，确定能够近似地震易损度的不确定性分布的类型。

1 地震易损度的数学模型

根据参考文献［2］和［3］中的分析，假定SSC所能承受的地面运动加速度能力A是一个随机变量，服从如下双对数正态分布［2-3］：

式中：Am——地面运动加速度能力的中值；

eR——随机性不确定度，服从中值为1的对数正态分布，其对数标准偏差为βR；eU——认知性不确定度，服从中值为1的对数正态分布，其对数标准偏差为βU。

SSC的地震易损度就由Am、βR和βU三个参数确定。

当地震产生的地面运动加速度a超过了SSC的地面运动加速度能力A时，即认为SSC将由于受地震影响而失效。因此可由（1）式进行推导［3］，得出给定的地面运动加速度a下SSC的条件失效概率P，即地震易损度，可以表示为：

式中：Φ——标准正态分布的累积分布函数；

Q——条件失效概率值小于P（a，Q）的概率（置信度）。

根据Q的定义，可以得到地面运动加速度a条件下地震易损度的累积分布函数和概率密度函数如下：

由以上两式可以看出，在给定地面运动加速度a条件下，地震易损度的累积分布函数和概率密度函数解析式非常复杂，并不符合常见的分布类型。以设备的地震易损度参数Am＝0．87 g，βR＝0．25，βU＝0．35为例，可作出设备的地震易损度曲线、不同加速度下地震易损度的累积分布函数和概率密度函数的示意图，分别如图1至图3所示。

图1 地震易损度曲线Fig．1 Seismic Fragility Curves

2 地震易损度分布类型的近似

地震易损度的不确定性分布非常复杂，只能以常见的分布类型进行近似，在近似时要基本保证地震易损度的均值（或数学期望）和方差相等。

图3 概率密度函数示意图Fig．3 Figure of Probability Density Function

在地震PSA中，地震风险贡献最为重要的地面运动加速度区间为0．2 g至1．0 g的范围。因为，震级更低的地震不足以对核电厂的安全运行造成威胁，而对于震级更高的地震，通常可认为将引起核电厂大范围的严重破坏，直接导致堆芯损坏和放射性释放，但由于此类地震发生频率非常低，因此其风险贡献也可以忽略［5］。所以，在0．2 g至1．0 g的加速度区间内，比较分布类型近似的准确程度更为有意义。

2.1 地震易损度的均值和方差

根据随机变量的均值和方差的定义［4］，可以得到给定地面运动加速度a下，地震易损度的均值E（a）和方差Var（a）的表达式：

本文以抗震能力不同的三个设备（见表1）为例，对0．2 g至1．0g区间内5个加速度值下的地震易损度的不确定性分布进行近似。根据式（5）、式（6）两式的数值积分［6］，可得不同加速度下三个示例设备的地震易损度均值和方差，见表1。

表1 地震易损度的均值和方差Table1 The Mean Values and Variance of Seismic Fragility of Example Components

2.2 分布参数的计算

表2列出了可靠性分析中几种常见的不确定性分布类型、分布参数及其概率密度函数［7-8］。

表2 几种常见的不确定性分布类型Table2 Several Common Uncertainty Distribution Types

根据地震易损度累积分布函数和概率密度函数的表达式及示意图，可以判断表2中的正态分布和均匀分布都不符合地震易损度的分布类型。因此这里仅讨论以Lognormal分布、Beta分布和Gamma分布近似地震易损度数据的合理性。表3给出了由地震易损度的均值和方差求解上述几种分布类型的分布参数的公式［7-8］。

根据表3的公式可求得对应表1中三个示例设备不同加速度下的Lognormal分布、Beta分布、Gamma分布的分布参数，见表4。

表3 分布参数计算公式Table3 Formulation for Distribution Parameters

表4 示例设备的分布参数Table4 Distribution Parameters of Example Components

续表

3 结果比较

根据上述结果，做出不同加速度下三个示例设备的地震易损度的概率密度函数曲线，见图4至图6，图中只给出0．2 g，0．6 g和1．0 g加速度下的曲线比较结果。

图4 示例设备A的结果比较Fig．4 Results of Example Component A（a）地面运动加速度a＝0．2 g；（b）地面运动加速度a＝0．6 g；（c）地面运动加速度a＝1．0 g

图5 示例设备B的结果比较Fig．5 Results of Example Component B（a）地面运动加速度a＝0．2 g；（b）地面运动加速度a＝0．6 g；（c）地面运动加速度a＝1．0 g

图6 示例设备C的结果比较Fig．6 Results of Example Component C（a）地面运动加速度a＝0．2 g；（b）地面运动加速度a＝0．6 g；（c）地面运动加速度a＝1．0 g

通过比较几组结果可以看出：Lognormal分布无法近似地震易损度的真实分布；当地面运动加速度接近或超过设备地震易损度参数Am时，Gamma分布与真实分布出现较大偏离，例如图4-b、图4-c和图5-c，尤其是对于图4-c，由于Gamma分布的分布参数太大，其概率密度函数已无法计算，此时已无法用Gamma函数进行近似。而Beta分布在不同情况下都能够较为合理地描述地震易损度数据的分布。

4 结论

地震易损度的定义是核电厂SSC在给定地震地面运动强度条件下的条件失效概率。本文通过对地震PSA中地震易损度的数学模型进行研究，由地震易损度的表达式，推导出地震易损度的累积分布函数和概率密度函数的解析式，由其解析式及函数曲线可以看出地震易损度具有较为复杂的不确定性分布。

地震PSA中，地震风险贡献最为重要的地面运动加速度区间为0．2～1．0 g，因此应在此地震加速度区间内对地震易损度的分布类型进行近似。

本文采用数值积分求解地震易损度均值和方差的方法，并在地震易损度均值和方差相等的条件下，用几种常见的分布类型对地震易损度的不确定性分布进行近似。通过比较分析可以看出，在0．2～1．0 g加速度区间内，Beta分布可以较为合理的近似地震易损度不确定性分布。

［1］ ASME／ANS-RA-Sa-2009．“Standard for Level 1／Large Early Release Frequency Probabilistic Risk Assessment for Nuclear Power Plant Applications”．2009．

［2］ EPRI．Seismic probabilistic risk assessment implementation guide［R］．EPRI：EPRI 1002989，2003．

［3］ EPRI．Methodology for Developing Seismic Fragilities［R］．EPRI TR-103959，1994．

［4］ 盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计［M］．北京：高等教育出版社，2001．

［5］ 张晓明，杨志超，肖军．地震PSA方法研究．2012核能概率安全分析（PSA）研讨会会议文集［C］．上海，2012：429-434．

［6］ 李庆杨，王能超，易大义．数值分析［M］．北京：清华大学出版社，2008．

［7］ 贺国芳，许海宝，瞿荣贞．可靠性数据的收集与分析［M］．北京：国防工业出版社，1995．

［8］ O．Nusbaumer．Analytic solution of seismic probabilistic risk assessment［R］．In．Proc．ESREL Conference．2005．

Study on the uncertainty distribution of seismic fragility in seismic PSA

WANG Yu-qing，WANG Meng-xi，Du Jin-yan

（China Nuclear Power Engineering Co．，Ltd．，Beijing 100840，China）

In seismic PSA for nuclear power plant，the fragility of a structure or equipment is defined as the conditional probability of its failure at a given ground motion level．The complicated uncertainty distribution of seismic fragility makes it difficult to complete the quantification in seismic PSA．This paper studies the mathematical model of seismic fragility，and then calculates the mean value and the variance of fragility by numerical method．Several common uncertainty distribution types are used to approximate the distribution of seismic fragility，with the same mean value and the variance．The results show that Beta distribution can be used to approximate the seismic fragility distribution with a high level of accuracy．

Seismic PSA；Seismic Fragility；Uncertainty Distribution；Beta Distribution

TL732＋．5

A

0258-0918（2016）01-0109-07

2015-12-21

王玉卿（1988—），男，山东潍坊人，硕士研究生，主要从事核电厂地震概率安全分析方面的研究