由数学连接的纸上的建筑与音乐

菅野裕子/Yuko Sugeno辛梦瑶 译/Translated by XIN Mengyao



由数学连接的纸上的建筑与音乐

菅野裕子/Yuko Sugeno
辛梦瑶 译/Translated by XIN Mengyao

摘要：本文以19世纪文艺复兴中标记法的变化为例，讨论了建筑与音乐之间的类比关系。建筑与音乐的相同点之一，是“图纸”和“乐谱”都被记录在纸上。换句话说，建筑与音乐都存在一个标记法的问题。本文的主旨在于考察那些标记法之间的关系，以及各自的测量方法。众所周知，在15世纪和16世纪，建筑与音乐都受到了数学比例理论的影响。从建筑与音乐理论中出现的“分数”这个角度出发，可以推测建筑与音乐的标记法与数的概念的变化有关。

Abstract:This essay deals with an analogy between architecture and music by examining the transition of notation from the Renaissance to the 19th century. One of the similarities of architecture and music is the written form, either "drawing" or "music" on paper. In other words, there is a matter as notation for both architecture and music. This essay considers the relationship with those notation and the way of measurement. It is known that during the 15th and the 16th centuries both architecture and music were influenced by mathematics and proportional theory. From the view of "fraction" found in architectural and musical theories, it can be seen that the notation of architecture and music was related to the transition of numeric notion.

关键词：标记法，米，测量，数，分数，小数

Keywords:notation, metre, measurement, number, fraction, decimal fraction

Perspectives on Architecture and Music Through Mathematics

1　图纸与乐谱 纸上的建筑与音乐

19世纪的建筑师迪朗（J. N. L. Durand）的《古代与现代各类建筑物对照汇编》（Recueil et Parallèlle des Édifices en Tout Genre，图1）中，不同建筑的平面图和立面图按相同的比例尺排列，下方附有单位为“m”的刻度尺。同样，迪朗的另一本书《皇家理工学院建筑学课程概要》（Précis des Leçons d'Architecture données à l'École Royale Polytechnique，图2）中，建筑物的平面图中被置入了网格状的尺寸线。

1 迪朗（J. N. L. Durand）所著《古代与现代各类建筑物对照汇编》（Recueil et Parallèlle des Édifices en Tout Genre, 1842）的内页局部

无论是哪种图纸表达，对现在的我们而言都很寻常。然而，这些在过去的年代都不曾存在。不仅如此，“m”这个单位与网格状空间坐标的诞生之间并非毫无关联。

揭示这件事的一个关键点是，抽象空间坐标被引入建筑图纸的时期，比使用文艺复兴透视法绘制空间坐标的时期晚许多。这究竟是为什么呢？笔者认为，这与当时的计数方法或长度的测量方法，以及数的概念变化都有关系，这就是本文的主题。

话说回来，建筑与音乐乍一看是完全不相干的两种事物，它们之间却有一些相同的地方。其一，无论建筑还是音乐，暂且不谈作品本身，它们都被记载于纸上成为“图纸”或“乐谱”。这与绘画或雕刻这样的艺术不同。而且，图纸也好乐谱也罢，都不是建筑或音乐本身，所以有各种各样的关于如何把它们记在纸上的规则。也就是说，建筑与音乐的共同点中存在“记谱”这个问题。用前面写到的迪朗的图纸解释的话，网格状尺寸线就相当于音乐的小节线。

另一个相同点是西方15世纪、16世纪的建筑与音乐的相同点，两者都受到了数学的比例理论的影响。虽然人们都已经非常清楚这个事实了，但目前为止，尤其是教堂建筑的比例中见到的整数比和音乐的协和音程的整数比之间的关系是最常被讨论的1）。与此相对，本文从建筑与音乐的理论书籍中都会出现的“分数”入手，考察长度的测量方法与数的概念变化。关于这个测量问题，迪朗的图纸中见到的“m”这个单位与音乐的速度记号或节拍器的出现是基于相同的依据。

2　绘于平面图上的两种辅助线

这里将比较《皇家理工学院建筑学课程概要》上刊登的一张平面图（图3）与斯卡莫齐（O. B. Scamozzi）绘制的帕拉弟奥（Andrea Palladio）的建筑图纸。这两张图纸虽然非常相似，但辅助线的标记方法却大不相同。

图4的辅助线由于从柱子与墙壁这些建筑本身的边缘延伸出去，在这些地方标记尺寸的话，柱子的直径或者墙壁的厚度这些“物体”与柱子间隔等的“缝隙”将被清楚地区分和测量。

另一方面，图3虽然看起来秩序井然，辅助线却并非从墙壁或柱子的边缘引出，而是从中心。因此，夹在两根辅助线之间的长度表示从墙壁（或柱子）的中心到另一个墙壁（或柱子）的中心的距离，由辅助线表示的一个一个的尺寸中，“物体（墙壁或柱子）”和“空虚的空隙（墙壁或柱子的间隔）”这两种性质的长度混杂在一起。然而，放入尺寸的话可能会看起来不自然，但从另一个角度看却可以使我们更易理解。由于秩序井然与合乎规则，它令人觉得很合理，或许建筑物看起来就好像建在方格纸上一样。这种辅助线也可以被认为是像含有X轴和Y轴的数学图表一样透明而均质的、可以无限延伸至任何地方的空间坐标。

2.3 迪朗（J. N. L. Durand）所著《皇家理工学院建筑学课程概要》（Précis des Leçons d'Architecture données à l'École Royale Polytechnique, 1819）的内页局部

4 斯卡莫齐（O. B. Scamozzi）所著《安德烈亚·帕拉第奥的建筑与设计》（Le Fabbriche e i Disegni di Andrea Palladio, 1778）的内页局部。虽然与图3很相似，但辅助线的标记方法却不同。（1-4图片来源：作者扫描）

3　空间坐标与时间坐标的诞生

这种存在于空间中的空间坐标原型来自绘画中的透视法。用文艺复兴中诞生的透视法绘制的画中，有很多在地板上画有格子图案，也有看起来像是在图表中描绘空间一样的画（图5、6）。关于这个图案，欧文·潘诺夫斯基（Erwin Panofsky）说，这不是简单的图案，它表示的是抽象坐标[1]。也就是说，正因为有了这个网格空间，即便是在什么都没有的空间里，画中事物的大小或互相之间的位置关系才会变得更清楚。

这里如果把空间换成时间的话，音乐的乐谱中与时间坐标相当的是“小节线”。音乐的乐谱如克罗斯比（A. W. Crosby）说的，是“欧洲最初做成的图表”[2]144，垂直方向是作为音高刻度的水平线（五线谱），水平方线是时间轴（图7）。与时间轴的刻度相当的小节线普及于17世纪，旋律被认为是组织独立时间的“近代性拍子”，两者具有类似的本质。也就是说，正如透视法绘画中的线是空间中的辅助线一样，音乐的小节线也是时间中的辅助线。那些辅助线在耳朵能听见的旋律背后存在，耳朵听不见的时间（即拍子）的组织以透明网格被视觉化2）。

4　图纸上不显示网格的理由

然而，文艺复兴或巴洛克时期的建筑图纸中，这种坐标轴还不存在。这乍一看是不可思议的事。如果是当画家们 “在图表中画风景”时，建筑师们也“在图表上画建筑物”，这样就容易理解了。然而现实并不是如此。那个时代的建筑师们绘制的建筑图纸就如图4中看到的样子，而建筑图纸上表现出仿佛透明图表一样的形象的，实际上已经是后来的事情了。也就是说，在透视法的世界里虽然均质空间坐标被画了出来，但在建筑图纸中却没有被绘制出来。

而且，如果说当时的建筑师并不知道这种透视法一样的绘图方法的话，事实却并非如此。发明透视法的菲利波·布鲁内列斯基（Filippo Brunelleschi）本人是代表文艺复兴的建筑师，透视法也是建筑师需具备的知识。也就是说，那个时候的建筑师，虽然知道绘图方法，但在建筑图纸上并不将网格坐标画出来。

这个问题没法单纯地归为一个原因。如果按照图4中的样子画出辅助线的话，“物体（墙壁或柱子）”与“空隙（墙壁或柱子的间隔）”这样性质不同的长度混杂在一起的“不自然”也是一个困扰。如此说来，将“物体”与“空隙”混合起来的“不自然”的尺寸标记方法，即便在当时的测量方法中并非不可能实现，也应该是太困难了。

那么，为什么会困难呢？笔者思考过几个理由，其中一个是，当时没有小数，只有整数与分数。

5 乔凡尼·贝利尼（Giovanni Bellini, 1425/30-1516）的作品《天使宣告耶稣降临》（Annunciata, Angelo annunciante）

6 莱奥纳尔多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）绘制的草图。地板上可以看见多条辅助线。（5.6图片来源：作者扫描）

5　建筑与音乐中使用分数的表达

阿尔伯蒂（L. B. Alberti）或塞巴斯蒂亚诺·塞利奥（Sebastiano Serlio）这些文艺复兴时期的建筑师在理论书中依据比例表示建筑各部分长度的尺寸，那些记述中常常会见到用分数表示的情况。阿尔伯蒂的《建筑论》（De Re Aedificatoria）中，第7书第7章的有关多立克式柱础的记载里有“圆盘比其厚度的一半只多突出1/8”这样的表达[3]。塞利奥也使用过托斯卡纳的柱径“上部只（比下部的直径）小1/4”[4]VIIv、爱奥尼式柱径“上部缩小1/6”[4]XXXVIIr这样的表达。

现在从附点音符中可以窥见音乐中使用过分数的痕迹（附点四分音符是将一个四分音符延长原时值的一半）。其起源为14世纪的新艺术（Ars nova）中的“音符附加”（punctus additionis），现在虽然只剩下这一种附点音符（A比B的1/2大），至16世纪后半段却存在着这种类型的多个规则，例如A比B“小1/3”，或者“小1/4”这样的。

现在的我们看了这样的表达，觉得它们不自然而且有些绕圈子，但或许在当时却不会显得不自然。那是因为与“A＝ （1±1/a）×B”相当的数的关系，在伯丘斯（Boetius）或帕乔利（Luca Pacioli）说的传统数比分类中也可以看到3）。那种比例理论就是整数与分数的世界。

6　数值化

然而对现代的我们来说，显示某段长度时，省略使用分数的计算过程、只显示计算结果的“数值”的方法是更清楚明了的。

在建筑上最初采用那种方法的是维尼奥拉（Jacopo Barozzi da Vignola）。他在《建筑五种柱式规范》（Regola delli Cinque Ordini d'Architettura）中只以一种长度单位作为基准来确定所有部分的尺寸[5]。通过这种做法，所有部分的长度都可以作为“数值”被显示出来，图上实际标出的就是数值（图8）。在音乐中，如阿德里亚诺·班基耶里（Adriano Banchieri）用图示说明各种音符时，实际在图旁边也记上数值[6]（图9）。也就是说，无论建筑还是音乐，在近代都到达了空间和时间中的长度被数值化的阶段4）。

今天我们使用的，统一单位再将长度用数值表示的方法中，“数值”（长度）通过“乘法”与“单位”连结。通过这个方法，补足1/2（加法），或者减去1/3（减法）这些计算将消失（基于“＋1/a”这种“分数的加法”或“-1/a”这种“分数的减法”表示的关系，可以改写为一次“加法”）。这是维尼奥拉或班基耶里使用过的将长度用数值表达的方法。他们省略了在他们之前的著者们记述的计算过程，只保留了计算结果。

7　作为连续体的数

话说回来，加上或者减去“1/a”的表达对于现代的我们来说不仅很麻烦，看起来也觉得很奇妙。为什么这么说呢？因为空间或时间的长度明明是连续的，而这种操作看起来好像将长度作为非连续的存在处理一样。从这种意义来讲，音乐的乐谱中见到的“散乱颗粒”般的音符形态，正是“凝固的时间”被视觉化的结果。

笔者深感兴趣的是，实际上当时的时代中数字本身不能被认为是连续和均质的。现在的我们虽然认为时间和空间都是连续存在的，中世纪或文艺复兴时期的数字还是“越与均质的时间或空间这种概念相提并论的话，就越不被视为均质的”[2]111。

16世纪的数学家西蒙·斯泰芬（Simon Stevin）发现，数这种东西不是像整数这样的散点的存在，而是连续体[7]。他通过引入十进制小数而被人们知晓。他曾明确提出“数是连续的量”，指出“依据实数的概念，时间性或空间性变量的数学法则化会成为可能，研究测量的严密科学也会诞生”[8]。

7 五线谱的垂直方向表示音高，水平方向表示时间。（图片来源：作者绘制）

8 维尼奥拉（Jacopo Barozzi da Vignola）所著《建筑五种柱式规范》（Regola delli Cinque Ordini d'Architettura）的内页局部。尺寸被用数值记录。

9 阿德里亚诺·班基耶里（Adriano Banchieri）所著《花腔唱法、领唱法及对位法音乐集》（Cartella Musicale nel Canto Figurato, Fermo ＆ Contrapunto, 1614）的内页局部各个音符的旁边都有用数字表示的时间。（8.9图片来源：作者扫描）

8　以地球为基准的空间与时间的单位

开头提到的迪朗的“图表一样的空间坐标”和“m这种单位”，与一直以来数的概念的变化相关。

抽象的空间坐标在文艺复兴的透视法中已被画了出来，为了将其引入建筑图纸，就一定要画出从“物体”和“空隙”这种物质性区分中独立出来的“客观”的空间坐标。为了实现它，必须采用“客观”且“抽象”的单位，同时基于那个单位的所有长度都可以被轻易测量的“数”也变得必要。随着数作为连续量的概念成立，小数也出现了，这使得空间或时间的长度可以作为连续的事物被容易地测量。这是因为如果有了小数，29.681m这样的即便用整数除不尽的不整的长度，也变得可以被自由地处理，从比例的束缚中解放了出来。

寻求“抽象”且“普遍”的长度单位的结果是，无论在空间还是时间中，地球都成为其依据的来源。迪朗的建筑图纸的右下方标有以m为单位的刻度尺，1m长即“通过巴黎的子午线从北极到赤道的长度的1/107”，即以地球为基准。在音乐上，古时人们用脉搏测量音符的长度，17世纪的马兰·梅森（Marin Mersenne）第一次使用音乐振子，1816年尼古劳斯·冯·温克尔（Nicolaus van Winkel）和约翰·内波穆克·梅尔策尔（Johann Nepomuk Mälzl）发明了节拍器[9]，这都是基于地球重力的原理。近代乐谱中也添加了♩＝60这个记号，它的意思是“一分钟相当于♩的60倍长度”，也就是基于地球自转的长度。

因此，无论记录在纸上的建筑还是音乐，都由地球导出的长度与世界相连。□

注释：

1）代表性研究有威特科尔·鲁道夫的《人文主义时代的建筑原则》（Wittkower Rudolf, Architectural Principles in the Age of Humanism, Norton, 1971）。2）关于小节线的成立，在五十岚太郎与菅野裕子合著的《建筑与音乐》（马林译，华中科技大学出版社，2012年）第7章中有详细叙述。

3）从古代到中世纪再经过文艺复兴，被传承或讨论的比例理论中大多数都有类似体系，其起源可以追溯至古希腊。当时被类型化的多种解释比例的文字中有“加上1/a”这样的表达，例如：廷克托里斯·约翰内斯的《音乐中的比例》（Tinctoris Johannes, Proportinale Musices）、帕乔利·卢卡的《神圣的比例》（Pacioli Luca, De Divina Proportione）、波爱修的《算术入门》（Boetius Anicius Mnlius Segerinus, De Istitutione Arithemetica）。

4）关于这部分内容，在前文提到的五十岚太郎与菅野裕子合著的《建筑与音乐》的第5章中有详细叙述。

参考文献:

[1] Panofsky, Erwin. Perspective as Symbolic Form. Sone Books, 1991: 57-58.

[2] Crosby, Alfred W.. The Measure of Reality. Cambridg University Press, 1977.

[3] Alberti, L.B.. De re aedi fi catoria. Firenze, 1485.

[4] Serlio, Sebastiano. L'Architettura. Libro Quarto, 1537.

[5] Jacopo Barozzi da Vignola. Regola delli Cinque Ordini d'Architettura. Roma, 1562.

[6] Banchieri, Adriano. Cartella Musicale nel Canto Figurato, Fermo ＆ Contrapunto. Venetia, 1614. repr. Bologna. Forni, 1968: 37.

[7] Stevin, Simon. De Thiende. 1585//The Principal Works of Simon Stevin, Vol. II, ed. Struik, D. J., C. V. Swets ＆ Zeitlinger, 1958.

[8] 山本義隆. シモン·ステヴィンをめぐって//科学革命の先駆者 シモン·ステヴィン. 朝倉書店，2009: 367-442.

[9] Sachs, Curt. Rhythm and Tempo : A Study in Music History. Norton, 1953.

收稿日期：2015-12-15

作者单位：横滨国立大学