探究明理——一节好课标准的最佳诠释——以罗鸣亮《判断2、3、5的倍数特征》教学为例

蔡丽圆

何为一节好课？在课程教学目标指向学科核心素养的当下，一节好课，不仅要有知识的授受，还需有智慧的启迪，同时还承载着对生命的点化或润泽。

一、知其然，更要知其所以然，以丰富理解

课始，唤醒学生的知识经验之后，罗老师通过一问“你有新的问题产生吗？”引导学生提出两个问题——为什么判断一个数是不是5的倍数，只要看个位数，而其他数位都不用看呢？为什么判断一个数是不是3的倍数，要看各位上数的和？这样引发学生三个层次的思考：

1.根据已有知识经验展开思辨，寻找问题的答案。

一开始，面对“突如其来”的两个“为什么”，课堂处于静寂中，罗老师发挥头脑风暴：这样吧，给大家一点时间，先激烈地讨论讨论，说一说困惑，看看怎么解决这个问题，好不好？

讨论后，学生的汇报磕磕绊绊，逐步完善：

生1：我认为双数个数的5相加，结果末位是0，单数个数的5相加，结果末位是5，自然数能分成两类，单数和双数，因此，答案末尾必须是0或5。

生2：我们同桌还有一种判断方法。一个奇数×5，结果个位一定是5，一个偶数×5，结果个位一定是0。

学生的回答中，已经把条件与结论颠倒来解决问题，学生并不清楚这样的说理是站不住脚的。因此，罗老师并没有用自己的专业与学生辩驳，只是再次提醒：我们的问题是：为什么判断这个数是不是5的倍数只看个位，而十位、百位、千位都不用看呢？这一提醒起了作用。

生3：我认为，或许因为十位、百位、千位等位数都是由个位进过来的，所以只看个位。(全体学生鼓掌)

师：或许什么意思？

生3：我也不确定啊，只是可能性的猜测。

生4：我补充，除了个位，十位的数去掉个位，末尾是0，百位的末尾也有0，有0的数就是5的倍数，这样只要看个位是不是5的倍数就可以了。(全体学生鼓掌)

师：你们习惯真好！鼓掌是表示听懂啦？听懂的来说说。

生5：我想帮他再说一遍。他的意思是说，不管多大的数，这样除后余下来的数，再加上个位上的5或0，这个数就是5的倍数。

生6：我认为可以把它分成几部分，比如说1995，可以分成1000、900、90 和 5，而这些都是可以被5整除的。

在同学们逐步完善的回答中，真正倾听并理解的同学越来越多。为使更多的同学听懂，罗老师提议生6再次讲解。

罗老师：你们又鼓掌？听懂的请举手。（数量明显增多）

最后生6进行板演，学生的思辨在直观中清晰起来。紧接着，罗老师结合课件与计数器，站在数的构成角度详细剖析给全班学生观察。把计数器藏起来的做法，更是精妙绝伦：从千位、百位、十位的确定，到个位的不确定，引领学生充分理解知识要点。

2.动手探究，自我建构知识。

师：3的倍数为什么不能只看个位呢？

生1：因为3的个位是不确定的，可能是 0、1、2 等等，所以不能只看个位，得总体来看。

生2：因为十不能被3整除，十往后所有的位数都不能被3整除。有余数的话就必须和个位加起来是3的倍数。

罗老师表扬了生2结合2、5倍数特征的研究策略从十位开始思考的做法，帮助学生积累活动经验，并顺势激发学生采用“举例”策略进行研究。

师：你都没发过言，来，这个机会给你啦。

生3：我举个例子，比如12，拆分成10和2，10除以3余1，这个1又和个位的2结合，结果能被3除尽，所以这个数能被3除尽。

经过几分钟的自主探究，这个不太自信的学生手拿例子在台上讲得头头是道，知识建构明晰而完整。

3.争论交流、达成共识，顿悟豁然开朗。

生4对生3提出质疑：是所有十位以上的整数都是除以3而余1吗？

生3：我觉得是可以的。因为百位是由10个十组成的，因此百位除以3也是余下1，千位除以3也余下1。

生4：那300呢？

生 3：300可以分成 3个100，100除以 3 余下 3 个 1，3个1结合也就成了1个3。

生4露出理解的表情，但罗老师没有就此打住，他及时打开课件，再次对生3进行提问，引导更全面的生生对话交流：10个珠子，3个3个分，余下的1为什么要加2？

生3：把1转到个位上来。

罗老师问另一生：为什么把1转到个位来？

另一生：这个1不是1个十了，是1个一，1个一和2个一又可以凑成3个一。

随后又一生分析了22÷3的过程中“此2非彼2”的原理，全班学生都幡然领悟。

二、知其然，奚以知其然也?以启迪智慧

本节课学生的寻理之路有两个层次：一个是显性层次：为什么判断一个数是不是5的倍数，只要看个位数，而其他数位都不用看呢？为什么判断一个数是不是3的倍数，要看各位上数的和？这两个“为什么”正是课堂上要讲清的道理。

1.经验式说理。

本课一开始，当罗老师对学生提出“为什么”时，学生答因为偶数乘5，个位一定得到0；奇数乘5，个位一定得到5，这是一种经验式说理。经验式说理与学生的已有认知水平息息相关，因此存在局限性和易错性。

2.举例式说理。

说理时都是从很具体的数字开始，例如课堂中的生6到台上写下1995÷5，并解释说：我把 1995 分成 1000、900、90和5，而这些数都是可以被5整数的。后面生3举12÷3的例子，以及全班同学利用探究单进行研究。这个环节从个别的例子到多个例子，充分提高了学生合情推理的能力。

3.一般性的逻辑推理。

在解决3的倍数问题上，老师一下提高到抽象层面：abc这个数要如何判断它是不是3的倍数？学生能从本质上答出a+b+c。这在数学上是一种比较严密的说理角度。

另一个是隐性层次：数学思想方法。授人以鱼，不如授人以渔。数学中最主要的成分始终是思想方法。本课让学生感悟最强烈的数学思想方法除了合情推理，还有猜想与反驳。即如果我知道一个道理，我认为它是正确的，我要努力地去证明它；或者当我怀疑它时，我必须找到一个反例去驳倒它。

三、渗透哲学，提升学力，以润泽生命

课堂上，罗老师带领学生站在哲学的角度，基于理性的思考，指引学生做出经过审视的假设与推理，去寻找理性的本质。罗老师教会学生的是认识世界的一种方法，这是本课设计理念深邃性的体现。

师：今天的数学课和平时的数学课有不同的地方吗？

生1：我们平时的数学课是不往里面挖的，直接让我们自己去想。而这节课我知道了为什么3的倍数这样判断，知道了它里面究竟是什么意思。我觉得这节课我的收获挺大的。

生2：平时的课是老师直接教我们方法，这次上数学课，我们是寻找它为什么要这样做，就是刨根问底，所以我觉得按照挖掘深追的方法来学习的数学课收获很大。

生3：其实我和他们的想法差不多，以前数学课我没彻底明白为什么这样分，特别是3的倍数，现在彻底明白了，收获特别大。

想想，我们是怎样去探究世界的？很多重要的发现，往往是从怀疑开始的，如果我们只是一味地相信某个道理，永远不会有更多的发现，而质疑、探究就是我们认识整个世界的方法。在罗老师的引领下，那一个个善于思辨、对答如流的学生，犹如一个个小小哲学家。