Hall共轭嵌入子群与有限群的结构

郭艳慧，黎先华

（1.苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州 215009；2.苏州大学 数学科学学院，江苏 苏州215006）

Hall共轭嵌入子群与有限群的结构

郭艳慧1，2，黎先华2

（1.苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州 215009；2.苏州大学 数学科学学院，江苏 苏州215006）

设群G为有限群，子群H称为G的Hall共轭嵌入子群，若它满足对于任意的g∈G，H总是〈H，Hg〉的Hall子群。通过群G的极小子群与2-极小子群为Hall共轭嵌入子群分别得到有限群G为p-幂零群和G属于某个饱和群系的若干新的判定方法。

有限群；Hall共轭嵌入子群；p-幂零群；饱和群系

文中涉及的群均为有限群，所用术语及符号均是标准的，未交待的概念和符号参见文献［1］。这里列出文中几个常用的符号：|G|表示群G的阶；|G：H|表示子群H在群G中的指数；Sylp（G）表示群G的所有Sylow p-子群之集。

群G的子群H称为G的Hall子群，若（|G：H|，|H|）=1；群G的子群H称为G的p′-Hall子群，若|H|·|P|= |G|，其中P∈Sylp（G）。作为Sylow子群的推广，Hall子群是一类重要的子群。著名的P.Hall定理［1］指出，群G为可解群当且仅当对|G|的任意素因子p，都存在G的p′-Hall子群。关于Hall子群的存在性及利用Hall子群来探讨群的结构是群论研究的热点［2-6］。例如，文献［2］中Moretó利用Sylow数讨论了幂零Hall子群的存在性；文献［3］中Revin给出了Hall子群的Frattini论断定理；文献［4］中Arad等推广了P.Hall定理，证得群G为可解群当且仅当存在G的2′-Hall子群与3′-Hall子群。最近，文献［7-9］先后引入了Hall正规嵌入子群、Hall次正规嵌入子群和Hall s-拟正规嵌入子群的概念：群G的子群H称为G的Hall正规嵌入子群，若H为它自身的正规闭包HG的Hall子群；群G的子群H称为G的Hall次正规嵌入子群，若H为它自身的次正规闭包HSG的Hall子群；群G的子群H称为G的Hall s-拟正规嵌入子群，若H为它自身的s-拟正规闭包HSQG的Hall子群。作为Hall子群与s-半置换子群的推广，文献［10］又引入了Hall s-半嵌入子群的概念：群G的子群H称为G的Hall s-半嵌入子群，若对任意的素数p满足p||G|，只要（p，|H|）=1，就有H为〈H，P〉的Hall子群，其中P∈Sylp（G）。群类G若关于同态象及次直积为闭的，则称G为一个群系。有限群的群系ζ称为饱和的，如果从G/Φ（G）∈ζ总能推得G∈ζ［11］。作为Hall子群与Hall正规嵌入子群的推广，笔者引入Hall共轭嵌入子群这一新概念，并利用极小子群与2-极小子群为Hall共轭嵌入子群得到有限群为p-幂零群或属于某个饱和群系的若干新判定方法。

1　预备知识

定义1设群G为有限群，称群G的子群H为Hall共轭嵌入子群，若对任意的g∈G，H为〈H，Hg〉的Hall子群。

显然，G的每个Hall子群都是G的Hall共轭嵌入子群。另外，由于对任意的g∈G，H≤〈H，Hg〉≤HG，所以G的每个Hall正规嵌入子群都是G的Hall共轭嵌入子群。

引理1设A为G的Hall共轭嵌入子群：

（1）若A≤H≤G，则A为H的Hall共轭嵌入子群。

（2）若N为G的正规子群，则AN/N为G/N的Hall共轭嵌入子群。

（3）若A为G的p-子群，则A为G的类正规子群。

证明（1）对任意的h∈H，由A为G的Hall s-半嵌入子群知A为〈A，Ah〉的Hall子群。从而，A为H的Hall s-半嵌入子群。

（2）记π为A的阶的素因子构成的集合，由A为G的Hall共轭嵌入子群，则对任意g∈G，|〈A，Ag〉：A|为π′-数。任取gN/N∈G/N，由于〈AN/N，（AN/N）gN/N〉=〈A，Ag〉N/N，所以|〈A，Ag〉N/N：AN/N|=（|〈A，Ag〉||A∩N|）/ （|〈A，Ag〉∩N||A|）为|〈A，Ag〉：A|的一个因子，也为π′-数。从而，AN/N为G/N的Hall共轭嵌入子群。

（3）对任意的g∈G，由A为G的Hall共轭嵌入子群知A为〈A，Ag〉的Sylow p-子群。显然，Ag也为〈A，Ag〉的Sylow p-子群。从而A与Ag在〈A，Ag〉中必共轭，A为G的类正规子群。

引理2［12］G的子群A在G中正规当且仅当A在G中类正规且次正规。

引理 3［13］设G为一个与A4无关的有限群，素数p满足p||G|且（|G|，p-1）=1。如果G存在正规子群N，使得G/N为p-幂零群并且p3不整除|N|，则G为p-幂零群。

引理4［13］设P为群G的极小正规p-子群，如果P的每个p2阶子群在G中π-拟正规，则|p|≤p2。

引理5［13］设F为所有具有超可解型Sylow塔群构成的群系，G为一个与A4无关的有限群。如果群G存在正规p-子群，使得G/P∈F，并且|P|≤p2，则G∈F。

2　主要结果

首先，考虑Sylow-子群的极小子群对群结构的影响。

定理1设素数p满足p||G|且（|G|，p-1）=1。如果G的每个p阶及4阶（当p=2时）循环子群为G的Hall共轭嵌入子群，则G为p-幂零群。

证明假设定理不成立，且G为极小阶反例。

任取H

（1）当|P|=p时，由NG（P）/CG（P）同构于Aut（P）的一个子群，|Aut（P）|=p-1以及假设（|G|，p-1）=1，可得NG（P）=CG（P）。从而，由Burnside定理知G为p-幂零群，这与G为极小阶反例矛盾。

（2）当|P|=p2时，若p＞2，任取a∈P，则|a|=p，从而〈a〉为G的Hall共轭嵌入子群。由引理1（3）和引理2可知〈a〉◁G。由〈a〉Q＜G及G为极小阶反例，可得〈a〉Q为p-幂零群，从而〈a〉≤NG（Q）。由a的任意性知P≤NG（Q），从而Q ◁G，这与G为极小阶反例矛盾。

若p=2，则当P为循环群时，G为p-幂零群；当P不循环时，任取a∈P，有|a|=2。由假设〈a〉为G的Hall共轭嵌入子群及引理1（3）和引理2可得〈a〉◁G。又因〈a〉Q＜G，由G为极小阶反例知〈a〉Q为2-幂零群，所以〈a〉≤NG（Q）。由a的任意性知P≤NG（Q），从而Q ◁G，这与G为极小阶反例矛盾。

（3）当|P|＞p2时，任取a∈P，则|a|=p或4（当p=2时）。由假设〈a〉为G的Hall共轭嵌入子群，借助引理1 （3）和引理4可得〈a〉◁G。再由〈a〉Q＜G及G为极小阶反例，知〈a〉Q为p-幂零群，从而〈a〉≤NG（Q）。由a的任意性知P≤NG（Q），从而Q ◁G，这与G为极小阶反例矛盾。

综上，极小反例不存在，G为p-幂零群。

推论1设p为|G|的最小素因子，若G的所有p阶及4阶（当p=2时）循环子群G为的Hall共轭嵌入子群，则G为p-幂零群。

推论2若群G的所有极小子群及4阶循环子群为G的Hall共轭嵌入子群，则G有超可解型Sylow-塔。

定理2设F为包含超可解群系U的饱和群系，如果G存在一个正规子群H使得G/H∈F并且H的素数阶及4阶循环子群为G的Hall共轭嵌入子群，则G∈F。

证明由引理1（1）知，H的素数阶及4阶循环子群为H的Hall共轭嵌入子群。由推论2，H有超可解型Sylow-塔。设p为|H|的最大素因子且P∈Sylp（H），则P ◁G。考虑G/P，由引理1（2），H/P的素数阶及4阶子群为G/H的Hall共轭嵌入子群。由归纳法得G/P∈F，且P的每个素数阶及4阶循环子群为G的Hall共轭嵌入子群，由引理1（3）和引理2，它们都在G中正规。由文献［15］的主要定理知G∈F。

接下来，考虑Sylow-子群的2-极小子群对群结构的影响。

定理3设G为一个与A4无关的有限群，素数p满足p||G|且（|G|，p-1）=1。如果G存在正规子群N，使得G/N为p-幂零群并且N的每个p2阶子群为G的Hall共轭嵌入子群，则G为p-幂零群。

证明假设定理不成立，G为极小阶反例。

（1）G为极小非p-幂零群。

任取H

（2）P的每个p2阶子群在G中正规。

由假设P的每个p2阶子群为G的Hall共轭嵌入子群，由引理1（3）和引理2可知，它们都是G的正规子群。

（3）任取 Z（P）中的p阶元a。若exp（P）=p，则对任意的x∈P〈a〉，〈x〉〈a〉为G的p2阶子群。由（2）得〈x〉〈a〉◁G且〈x〉〈a〉Q＜G。由（1）可得〈x〉〈a〉Q=〈x〉〈a〉×Q，从而〈x〉〈a〉≤NG（Q），有P≤NG（Q），所以G=P×Q，与假设G为极小阶反例矛盾。因而可假定p=2且expP=4，类似上述证明方法可以证得每个2阶元都包含在NG（Q）中，对每个4阶元b，考虑〈b〉Q，则〈b〉Q=〈b〉×Q，同样可得〈b〉∈NG（Q），从而P≤NG（Q），G=P×Q，与假设G为极小阶反例矛盾。

综上，极小反例不存在，G为p-幂零群。

推论3设G为一个与A4无关的有限群，素数p满足p||G|且（|G|，p-1）=1，P为G的Sylow p-子群，若P∩GN的每个p2阶子群为G的Hall共轭嵌入子群，则G为p-幂零群。

推论4设对群G的阶的每个素因子p，G的每个p2阶子群都是G的Hall共轭嵌入子群，则G有超可解型Sylow-塔。

定理4设F为所有具有超可解型Sylow塔群构成的群系，G为一个与A4无关的有限群，如果G存在正规子群H使得G/H∈F，并且对|H|的每个素因子p，H的p2阶子群都是G的Hall共轭嵌入子群，则G∈F。

证明假设定理不成立，且G为极小阶反例。由推论4，H有超可解型Sylow-塔。设p为H阶的最大素因子，且P∈Sylp（H），则P ◁G。考虑群G/P，由假设及引理1（2），H/P的所有素数平方阶子群为G/P的Hall共轭嵌入子群，且G/P为A4无关的。由G为极小阶反例知G/P∈F。

由GF≤P≤OP（G），GF的每个p2阶子群为G的Hall共轭嵌入子群。再由引理1（3）和引理2，GF的每个p2阶子群在G中正规。若Φ（GF）＝1，则GF为G的极小正规子群。由引理4，|GF|≤p2，从而由引理5，G∈F，矛盾。因而可假定Φ（GF）≠1，考虑G=G/Φ（GF），下面证明GF/Φ（GF）的每个p2阶子群在G/Φ（GF）中正规。任取GF/Φ（GF）的p2阶子群A，则A=〈x〉〈y〉。当〈x〉，〈y〉都是4阶循环群时，由〈x〉，〈y〉都是G的正规子群知〈x〉，〈y〉都是G的正规子群，从而A=〈x〉〈y〉在G中正规；当〈x〉，〈y〉都是2阶循环群时，在Φ（GF）中区p阶元z，则〈x〉〈z〉，〈y〉〈z〉都是4阶群，从而都在G中正规。由于〈x〉〈z〉=〈x〉与〈y〉〈z〉=〈y〉都在G中正规，所以A= 〈x〉〈y〉在G中正规；当〈x〉，〈y〉一个为2阶群，一个为4阶循环群时，类似可证A=〈x〉〈y〉在G中正规。由引理4，|GF/Φ（GF）≤p2|。对G/Φ（GF），GF/Φ（GF）利用引理5，可得G/Φ（GF）∈F。由于F为饱和群系，Φ（GF）≤Φ（G），所以G∈F，矛盾，定理证毕。

推论5设G为一个与A4无关的有限群，如果G存在正规子群H使得G/H∈F并且对H的阶的每个素因子p，H的p2阶子群都是G的Hall共轭嵌入子群，则G为超可解群。

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责任编辑：谢金春

Hall conjugately embedded subgroups and the structure of finite groups

GUO Yanhui1，2，LI Xianhua2
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Mathematical Science，Soochow University，Suzhou 215006，China）

Let G be a finite group.If H is a Hall subgroup of＜H，Hg＞，a subgroup H is called a Hall conjugately embedded subgroup of G for any g∈G.In this paper，we have obtained some new results about the p-nilpotency of G and G belonging to some saturated formation under the assumptions that some minimal and 2-minimal subgroups of G are Hall conjugately embedded subgroups

finite group；Hall conjugately embedded subgroup；p-nilpotent group；saturated formation

O152.1MR（2000）Subject Classification：20D10；20D20

A

1672-0687（2016）03-0007-04

2016-01-15

国家自然科学基金资助项目（11171243）；江苏省高校自然科学基金面上项目（16KJB110019）；江苏省普通高校研究生科研创新计划资助项目（KYLX-1212）

郭艳慧（1979-），女，山东菏泽人，讲师，博士研究生，研究方向：有限群及其应用。