一个实数不等式在矩阵论中的推广

胡　汭（铜陵学院数学与计算机学院，安徽铜陵244000）



一个实数不等式在矩阵论中的推广

胡汭
（铜陵学院数学与计算机学院，安徽铜陵244000）

摘要：文章是将一个实数不等式及其变形形式演变到Hermite矩阵的范数领域，并演算到该范数形式的推广形式.

关键词：Hermite矩阵；迹；实数；不等式；范数

半个世纪以来，近代科学家在矩阵领域的研究有了更大和更深入的突破，矩阵理论在自然科学、工程技术与社会经济等各个领域已经有初步的应用，并得到一些重要的理论成果如Neumann不等式，酉算子和Hermite矩阵等.这些新成果不仅在社会实践中得到广泛的应用，且已经成为矩阵理论进一步发展的一种理论工具，本文就是运用实数不等式和矩阵论中的相关知识，将一个简单的实数不等式和它的新的变形形式推广到矩阵论中的矩阵迹及其矩阵范数等领域，并且进一步得到矩阵范数不等式的推广形式.

1　预备知识

定义1［1］为n阶复方阵，定义，则它是一个矩阵范数，称它为Schatten p-范数.当p=2时，称之为Hilbert-Schmite范数，且知是酉不变范数，即对任意的酉矩阵U，V有||UBV||2=||B||2成立.

定义2B=()

bij为n阶复方阵，则称该矩阵的主对角线元素之和为矩阵B的迹，记为trB，即

n若k1,k2,…,kn为B的特征值，则

引理1对任意的实数x，都有不等式x2+3≥|3x|成立.

引理2对任意的实数x，都有不等式x2+4≥|4x|成立.

2　主要结果及证明

证明设B的特征值为η1≥η2≥…≥ηn，则B2+3I的特征值为

由引理1，

证毕.

证明存在酉矩阵U和V，使得B=U∗ΛU,且以及X=V∗MV，则

所以

又因为

由引理2

证明存在酉矩阵U和V，使得B=U∗ΛU，以及X=V∗MV，则

所以

设UV∗M=Y=(yij)，则因为酉不变范数，故有

又因为

参考文献：

［1］BHATIA R.Matrix analysis［M］.NewYork：Spring-Verlag，1997.

［2］王松桂，吴密霞，贾忠贞.矩阵不等式［M］.2版.北京：科学出版社，2006.

［3］ZHAN X Z.Matrix Inequalities［M］.Berlin：Spring-Verlag，2002.

On the Application of a Real Inequality in Matrix

HU Rui
（School of Mathematics and Computational Science，Tongling Teachers College，244000，Tongling，Anhui，China）

Absract：In this paper，a real number inequality and its deformation are extended to the norm of Hermite matrix，and the generalized form of the norm is given.

Key words：Hermite matrix；trace；real number;inequality；rorm

作者简介：胡汭（1985-），女，安徽舒城人，硕士，助教，研究方向是矩阵和算子理论.

收稿日期：2015-09-06

中图分类号：O 178

文献标识码：C

文章编号：2095-0691（2016）01-0075-03