基于CIR利率的养老金计划多元衰减模型与精算现值

李　浩，侯为波，张增林（.宿州学院数学与统计学院，安徽宿州34000；.淮北师范大学科学技术处，安徽淮北35000）



基于CIR利率的养老金计划多元衰减模型与精算现值

李浩1，侯为波2，张增林1
（1.宿州学院数学与统计学院，安徽宿州234000；2.淮北师范大学科学技术处，安徽淮北235000）

摘要：随着我国人口老年化问题的日趋加剧，养老金计划对于老年人口的生活保障愈显得重要.寿险精算理论在科学合理制定保险产品价格方面至关重要.利率是影响价格的最重要因素之一.从长期来看，利率随时间的变化而波动，具有很强的随机波动性.文章考虑利用具有随机波动特性的CIR利率模型，建立养老金多元衰减模型，进而获得延期年金的精算现值解析式.

关键词：CIR利率；养老金计划；延期年金；多元衰减模型

0　引言

养老金计划是企业为其员工提供的福利，包括年老退休福利和病退福利，前者是在员工达到法定退休年龄时企业所支付给员工的福利，后者是在员工因疾病不能继续工作而退休的福利.它由国家、企业发起，发起人负责养老基金的管理及发放，它为计划参与者因死亡、残疾、退休和辞职等提供保障.养老金计划是当今世界各国普遍采用的一种社会保障模式，在所有社会保障体系中占主导作用.正是参与者的死亡、残疾、退休和辞职等因素影响养老金计划，在寿险精算学中称这些因素为衰减原因，而受多个（两个及两个以上）衰减原因影响的数学模型成为多元衰减模型［1］.

在传统的精算理论中，假定利率为常数，这可使理论研究变得简化，但与实际往往不相符.随着保险与人们实际生活的关系日趋密切，学者发现寿险精算模型中的利率是随时间变化的随机变量.在长期人寿保险场合，利率的波动性对于产品定价和风险管理尤为关键.因此，学者已将目光关注于利率的波动性，不断寻求建立利率模型的方法，力求使利率能与实际情况贴近.在时间序列建模方面，Fress［2］研究了可逆MA（1）利率下生存年金精算现值，Haberman［3］在研究企业年金保险时，建立了利息力满足稳定自回归AR（1）模型的生存年金精算模型等；在利用随机过程刻画利率方面，有Beekma［4］对利息力累积函数使用Ornstein-Uhienbeek过程得到年金现值的前二阶矩，Schepper［5］等对利息力累积函数使用Wiener过程得到了年金矩母函数，何文炯［6］对利息力累积函数分别采用Gauss过程和反射Brown运动进行建模；而在利用模糊数学理论描述利率方面，高井贵等［7］采用梯形模糊变量刻画利息力累积函数，得到了全离散定期寿险的均衡纯保费和准备金.对于养老金计划多元衰减模型中的利率研究，目前可供参考的文献较少，相关的讨论也不多.尚勤等［8］研究了带跳过程的退休年金的长寿风险；孙荣［9］研究了利息力服从Vasicek模型的养老金计划.本文研究的重点在于利率的随机波动性，进而推导出养老金计划的精算现值模型.

1　利率期限结构

本文考虑采用具有随机波动性的利率模型.随机波动性是指利息力的不确定性与时间相关，其描述的利率具有随机波动性，而不是常数.养老金计划时效较长，因此制定养老金计划必须考虑利率随时间变化的特性.鉴于此，我们选取利率期限结构中具有均值回复、非负和水平效应的CIR模型.

设利率r(t)服从CIR模型：

其中，k、θ和r均为常数，Wt为一维标准布朗运动.

记S(0,t)为在短期利率r(t)条件下，一个单位元数在t时刻的价格过程，则

在存在市场风险的r(t)下，记q(t)为市场的风险价格.

引理1［10］当σ2=4kθ且市场风险价格时，其中q为常数，在CIR模型下的利率r(t)的贴现函数Vt满足：

2　多元衰减模型

以被保险人在保障期内存活为条件，每隔一段时间支付一次年金的保险，称为离散生存年金.在保险实务场合，离散生存年金较为常见，本文主要对年末支付延期生存年金进行分析，需介绍相关精算符号.

(x)：年龄为x岁的人；

T(x)：(x)的未来衰减时间（某原因导致模型终止的时间，可能是个体死亡的时间等）；

K(x)：T(x)的取整，即整值剩余寿命；

J(x)：模型衰减的原因，为离散型随机变量，取值为J(t)=1,2,…,m；

fT(t)：T(x)的概率密度函数；

fJ(j)：J(x)的概率函数，fJ(j)=P(J=j),j=1,2,…,m；

fT,J(t,j)为T(x)，J(x)的联合密度函数，且有：：个体(x)在未来时刻到t之前由于减因j而衰减的概率；：个体(x)在未来时刻到t之前衰减的概率（即所有衰减引起的原因）；：个体(x)在未来时刻到t之前衰减的概率；

ω：个体(x)的极限寿命.

引理2［1］

引理3［1］衰减概率之间具有关系：

3　养老金计划的年金计算公式

养老金计划可理解为缴纳定期年金以获得延期的年金.(x)投保延期m年终身生存年金，当他活到表示x+m之后，每年可获一个单位元数的生存年金，其精算现值记作，则由（1）-（4），得

4　结论

由于养老金计划时效较长，因此制定养老金计划必须考虑利率随时间变化的特性，即利率的随机波动性.尽管Vasicek模型存在很多优点，但是其波动率是常数；而CIR模型的波动率不是常数，具有随机性.因此，在建立养老金计划的多元衰减模型时，采用CIR模型刻画利率的随机波动性更为合理.养老金实际上一种退休年金，建立养老金定价模型，可以为制定合理的养老金计划起到指引作用，并能减小养老金计划的长寿风险.

参考文献：

［1］杨静平.寿险精算学基础［M］.北京：北京大学出版社，2002.

［2］FREES E W.Stochastic life contingencies with solvency considerations［J］.Transactions of the Society of Actuaries，1990(1): 242.

［3］HABERMAN S.Stochastic investment return and contribution rate risk in a defined benefit pension scheme［J］.Insurance：Mathematics and Economics，1997.

［4］BEEKMA J A，FUELLING C P.Extra randomness in certain annuity models［J］.Insurance：Mathematics and Economics，1992，10（4）：275-287.

［5］SCHEPPER A D，GOOVAERTS M.Some further results on annuities certain with random interest［J］.Insurance：Mathe⁃matics and Economics，1992，11：283-290.

［6］何文炯，蒋庆荣.随机利率下的增额寿险［J］.高校应用数学学报，1998，13（2）：145-152.

［7］高井贵，赵明清.模糊利率下的寿险精算模型［J］.系统工程学报，2010，25（5）：603-608.

［8］尚勤，秦学志.随机死亡率与利率下退休年金的长寿风险分析［J］.系统工程，2009，27（11）：56-61.

［9］孙荣.基于随机利率的养老金计划多重衰减模型与精算［J］.统计与决策，2010，22：16-17.

［10］冉启康.一类带随机利率的生存年金组合模型［J］.系统工程，2011，29（10）：108-111.

Multiple Attenuation Model and Actuarial Present Value of Pension Scheme Based on CIR Interest Rate

LI Hao1，HOU Weibo2，ZHANG Zenglin1
（1.School of Mathematics and Statistics，Suzhou University，234000，Suzhou，Anhui，China；2.Department of Science and Technology，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

Abstract：With the problem of astogeny getting worse，pension schemes are even more vital to the liv⁃ing security of the old.The theory of life contingencies plays an important role in setting the scientif⁃ic and reasonable prices of insurance products.The rate of interest is one of the key factors that af⁃fect prices.In the long run，the rate of interest fluctuates with time going by，enjoying strong and random volatility.To establish the multiple attenuation pattern of pension，the authors consider using the pattern of the rate of interest characterized by random and fluctuant CIR,and then gain the formu⁃la of actuarial present value of deferred annuity.

Key words：CIR model；pension scheme；deferred annuity；multiple attenuation model

作者简介：李浩（1981-），男，安徽全椒人，硕士，助教，研究方向：保险精算.

基金项目：安徽省教育厅教学改革与教学质量工程项目（2012zy146）；宿州学院教研项目（szxyjyxm201321）；宿州学院教研项目（szxyjyxm201141）

收稿日期：2015-04-04

中图分类号：F 840.6，F 224

文献标识码：A

文章编号：2095-0691（2016）01-0009-03