薄板弯曲加权残值法的研究

林 松

(中国航天建设集团有限公司第二设计分院，北京 100071)

薄板弯曲加权残值法的研究

林 松

(中国航天建设集团有限公司第二设计分院，北京 100071)

用加权残值法对四边简支距形薄板及环扇形薄板进行了研究，同时给出算例表明该方法简单易行、精度高，收敛速度快.

矩形薄板；扇形薄板；加权残值法

0 引 言

加权残值法是一种半解析、半数值的方法，我们可以首先设试函数，然后通过控制方程和边界条件，把难以求解的微分方程问题转化为容易求解的代数方程.这样我们可以很容易求解相关工程问题.用这种方法解决固体力学的问题具有简单、准确、计算工作量少等优点.本文利用该方法对薄板弯曲问题进行了分析和研究.并通过算例与精确解比较，说明该方法简单易行、精度高、收敛速度快.

1 四边简支矩形薄板

薄板挠度与外载满足下列方程：

DW4(x,y)=q(x,y)

(1)

该矩形薄板，边长为a，宽为b，则其边界条件为：

(2)

把均布荷载写成二维DiracDelta函数

q=pδ(x-ξ)δ(y-η)

薄板弹性曲面微分方程为

DW4(x,y)-pδ(x-ξ)δ(y-η)=0(3)

设薄板挠度函数取为

(4)

应用加权残值法，得到

(5)

其中

Hi=DW4(x,y)-p(δ-ξ)δ(y-η)

求解方程组(5)，得到

(6)

把系数(6)，代入挠度表达式中得到

(7)

(8)

(9)

图2 图3

2 周边简支扇形板

对图3板面受均载q的简支扇形薄板，设位移函数为

(10)

其中B0、B1、B2、B3是由边界条件确定的任意常数，B为待定参数，x=r/a，且有

(11)

将挠度(10)代入以下薄板边界条件

(W)X=0X=1=0,(MX)X=0X=1=0

解出四个常数

(12)

圆板挠度弹性曲面微分方程是

(13)

将式(10)代入式(13)中，得域内残值S=S(B,x,θ)，然后应用伽辽金加权残值法，得

进而求得参数

B=520+106μq0a4α0/C

(14)

并且

其中

把所求参数B代入挠度函数(10)，得到

(15)

3 结 论

矩形板中点挠度是

(m=1,2,3,…,n=1,2,3,…)

特殊情况，a=b时板中点挠度为

其中系数A0的值与试函数阶次m,n及荷载划分密度K有关，计算结果表明K=50即已收敛.计算结果如下：

试函数阶次精确解A0近似解A0误差%10.0067410.0065363.0420.0067410.0068830.8630.0067410.0068290.1840.0067410.0067350.0950.0067410.0067390.0360.0067410.0067400.0170.0067410.0067410

[1]朱宝安，数学加权残值法[M].天津科学技术出版社，1992，8

[2]童丽萍，宋启根，用分域加权残值法求部分区域有几何缺陷的圆柱壳[J].工程力学，VoL14，NO1

[3]奚梅成，数值分析方法[M].中国科学技术大学出版社,1995

[4]徐次达，固体力学加权残值法[M].同济大学出版社，1997

Research on he Weighted Remnant of a Bend Plate

LINSong

(The Second Design Branch, China Aerospace Construction Group Co., Ltd Beijing 100071)

The bending problem of freely supported rectangle plate and fan slab is discussed in this paper by the weighted remnant method, which, through example, shows this method is simple and flexible, with precise calculation.

freely supported rectangle plate; fan slab; weighed remnant method

2016-07-20

林松(1979-)，男，高级工程师，从事建筑结构设计及研究.

TU 3

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