地图中的投影变形

2016-03-20李伟良

中学课程辅导·教学研究 2016年35期

关键词：制图航线投影

◎李伟良

地图中的投影变形

◎李伟良

地图投影是地图制图的基础。在地图投影的过程中，从三维球面空间向二维平面空间转换会造成几何图形长度、角度和面积的变化，这就是投影变形。通过选择合适的地图投影来减小投影变形，可以减少地图误差。

地图；投影；变形。

一、地图制图的基本原理

1．地图投影地球表面是一个不规则的三维曲面，通常以椭球面来近似代替，而地图是一个二维的平面。地图制图实际上就是利用二维平面的要素来表示三维曲面的内容，需要运用数学理论将地球表面上点的经纬度相应地转换为平面上直角坐标［1］，这个坐标映射的过程就是地图投影。地图投影的本质是不同空间坐标系之间的数学映射和坐标转换。选择不同的入射光线、投影角度和投影面，就会形成不同的地图投影类型（如图2－1）。

2．投影变形投影变形是地图制图过程中，从三维空间向二维空间进行地图投影带来的必然结果。这就好比一块篮球皮，想要平铺到地面上，一定会发生变形。通常投影变形会表现为距离变形、角度变形、面积变形或者距离、角度、面积的综合变形（图2－2）。图2－1很好地表现了距离变形：半球上同样长度的经线在经过正射投影之后，发生了明显的变形，越靠近赤道图上长度越短。图2－3是西雅图至伦敦的飞行航线，地图上显示航线为曲线，似乎有悖于“平面上两点之间线段最短”这条公理。对比图2－4，我们会发现飞行航线原来走的还是最短路线，

只不过横轴墨卡托投影下航线发生了投影变形。当然，实际航线也不可能是直线，因为球面上两点的最短距离是通过球心的大圆的劣弧。

如果从解析几何的角度来解释投影变形这个问题，会更容易理解。三维空间和二维空间处于不同的坐标系，同一种图形在不同的坐标系下会有不同的表现形式。比如图2－5单位圆，在X－Y坐标系下表现为圆形，但是在R－θ坐标系下则表现为一条线段。

二、投影变形的控制

1．投影变形的影响通常讲，投影变形对于人们日常使用地图不会造成影响，但对于大范围的地图来说，距离、角度和面积的变形会对计算的结果造成重大的影响：距离的变形会造成公路、铁路里程计算的错误，角度的变形会造成远程火炮、导弹等武器打击目标方位的错误等，所以应充分考虑投影变形带来的影响。

2．投影变形的控制投影变形是地图编制过程中无法消除的问题，只能通过选择不同的地图投影方式来消除或减弱某一个方面的变形，从而达到在一定程度上控制投影变形的目的，而代价是增大其他方面的变形。

（1）等角投影。等角投影，即地面上的任意两条直线的夹角，在经过地球投影绘制到图纸上以后，其夹角保持不变，如墨卡托投影、兰伯特等角投影、高斯－克吕克投影等。等角投影便于图上量测方向和角度，常用于对真实角度和方向要求高的地图，如航海图、洋流图、风向图、地形图等。但是，等角投影面积变形很大，越往两极面积变形越大，故不能量算面积，这也是引言中面积“错”得离谱的原因所在。墨卡托投影由荷兰地图学家墨卡托（G．Mercator）于1569年创立，按照墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，同时航海者从此可以在地图上用直线画出航线图了。在缺乏GPS定位的大航海时代，墨卡托投影为船舰在航行中定位、确定航向带来了极大的便利，目前依然广泛用于航海图和航空图。

（2）等积投影。等积投影，即地面上的一块面积在经过地球投影绘制到图纸上以后，面积保持不变，如摩尔威德投影、阿尔伯斯等面积投影、兰伯特等面积投影等。等积投影常用于对面积精度要求较高的自然和经济地图，如地质、土壤、土地利用、行政区划等地图。在我国，大中比例尺常采用高斯—克吕格投影，大部分省区地图以及大多数这一比例尺的地图多采用阿尔伯斯等面积投影，1：100万等小比例尺地形图常采用兰勃特投影。

（3）等距投影和任意投影。实际上并不存在严格意义上的等距投影。等距投影可以看做是任意投影中的一种特例，通常只能保证坐标轴线方向上的距离不变，其他方向依然存在距离变形。等距离投影中，最有名的一种叫做等距离圆柱投影，所有相邻经线和纬线的距离都相同，是公认的所有地图投影里数学变换最简单的一种。这种地图虽然既不能保持形状准确，又不能保证面积准确，也不能保证角度准确，但因为制作简单，常用来制作索引地图或示意地图（如图3－3）．