挖隐含 构函数 巧证数字型不等式

甘肃 魏正清

挖隐含 构函数 巧证数字型不等式

甘肃 魏正清

近几年高考压轴题中的有些数字型不等式，若从正面去直接证明，往往感到非常棘手，但若能深入研究不等式本身的结构特征，挖掘潜在信息，从题目已知的函数入手，恰当的取特值，巧妙的构造函数模型，构造恒成立不等式，常常会出其不意，攻其不备，巧妙破解一类高考压轴题．本文例述证明这类数字型不等式的模式化策略．

【例1】（2011·全国Ⅱ理）（1）设函数f（x）＝ln（1＋x）－，证明：当x＞0时，f（x）＞0；

（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p．

潜在信息 只需证明对数小于或大于某个常数，也就是需要构造对数不等式．

隐含条件 由（1）知当x＞0时，f（x）＞0恒成立．

【例2】（2014·新课标Ⅱ理）已知函数f（x）＝exe－x－2x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设g（x）＝f2（x）－4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；

潜在信息1 只需寻求对数不等式．

隐含条件1 由（2）知当b≤2时，g（x）＞0恒成立．

（1）求常数b的值；

（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；

于是当x∈（0，1）时，g（x）＜0，得f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）上单调递减．

从而f（x）＜0，x∈（0，1）恒成立．

（作者单位：甘肃省临泽一中）