含参导数问题的五种求解策略

甘肃 张建虎

含参导数问题的五种求解策略

甘肃 张建虎

以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向．运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围．解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过分离参数、数形结合、分类讨论等思维方法进行求解．而求解策略的恰当选择，取决于求解策略是否准确，本文就此类含参数的导数问题做如下阐述．

1．分离参数，化为最值问题

（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）当x∈［1，2］时，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值范围．

【评注】本题中，参数a可以用含x的函数来表示，因此想到分离参数，进而转化为最值问题．上述解法可以实施的前提是变量a可以比较方便地“分离”出来，用含x的函数来表示，且可以确定新函数g（x）＝f′（x）在区间（－1，1）是单调递增的．若变量a无法分离，或新函数h（x）的单调性无法确定（h（x）存在极值点，但又无法求出此极值点），那“分离参数”这个方法在此就不合适了．为此，本题还提供一种对此类问题的一般性解法．

【变式练习】设函数f（x）＝kx3－3x＋1，x∈R，若对于任意x∈［－1，1］都有f（x）≥0成立，求k的取值范围．

【提示】分x＞0，x＝0，x＜0依次讨论并对k的取值范围求交集，即得k＝4．

2．分类讨论，逐一分析

题目见【例1】

【评注】虽然解法一可以避免分类讨论，简洁程度明显优于解法二．但解法二给出了求函数最值的基本方法，适用范围较广，也要引起足够的重视．

【变式练习】函数f（x）的导数f′（x）＝a（x＋1）（x－a），若f（x）在x＝a处取得极大值，求实数a的取值范围．

【提示】对a进行逐一分类讨论．答案是a∈（－1，0）．

3．化为以参数为新变元的问题

【例2】 已知函数f（x）＝x2＋alnx－2，若f（x）＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围．

【分析】本题虽然可以分离参数，但需对lnx是否大于0讨论，这样一个问题变成了两个问题，比较浪费时间．

∴a＝－2是φ（a）的极大值点，也是φ（a）的最大值点．

∴φ（a）≤φ（－2）＝0，又φ（a）≥0，∴a＝－2，即a∈｛－2｝．

【评注】“分离参数”的解法虽然比较简洁，但有一定的局限性．当分离参数的方法受阻时，只能转为直接求最值，同时，分离参数后，对新函数的导函数讨论会陷入既无法定号、又无法求出极值点的尴尬境地，因此不适合用分离参数解决．只能直接对f（x）求导，讨论其单调性，求出f（x）最小值（是一个关于a的函数），进而转化为对关于参数a的函数的分析．

4．逆推求函数最值，进而得出参数范围

【例3】（2012·新课标卷）设函数f（x）＝ex－ax－2．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，（x－k）f′（x）＋x＋1＞0，求k的最大值．

【解析】（1）f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f′（x）＝ex－a．

若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（－∞，＋∞）单调递增．

若a＞0，则当x∈（－∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，＋∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（－∞，lna）上单调递减，在（lna，＋∞）上单调递增．

（2）由于a＝1，所以（x－k）f′（x）＋x＋1＝（x－k）（ex－1）＋x＋1．

由（1）知，函数h（x）＝ex－x－2在（0，＋∞）单调递增．而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）在（0，＋∞）存在唯一的零点．故g′（x）在（0，＋∞）存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈（1，2）．

当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，＋∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，＋∞）的最小值为g（α）．又由g′（α）＝0，可得eα＝α＋2，所以g（α）＝α＋1∈（2，3）．

由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．

【评注】本题中，由于g′（x）不能直接定号，因此采取以g′（x）为新的起点，令h（x）＝ex－ax－2，进而对h（x）进行求导分析．由对h′（x）的符号讨论得出h（x）的单调性，进而得出h（x）的最值；再由h（x）的符号，得出g（x）的单调性，进而得出g（x）的最值．可谓步步逆推，思维缜密．

5．数形结合解含参数的导数题

（解法1）代数逻辑逐一推理求解

直线l：y＝kx－1与曲线y＝f（x）没有公共点，等价于关于x的方程在R上没有实数解，即关于x的方程：在R上没有实数解．

令g（x）＝xex，则有g′（x）＝（x＋1）ex，

当x∈（－∞，－1）时，g′（x）＜0．所以g（x）单调递减；当x∈（－1，＋∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）单调递增．故当x＝－1时，，同时当x趋于＋∞时，g（x）趋于＋∞，所以g（x）的取值范围为

综上①②，得k的最大值为1．

（解法2）以“形”助“数”，图形直观求解

直线l：y＝kx－1与曲线y＝f（x）没有公共点，等价于关于x的方程在R上没有实数解，等价于函数的图象无交点．

【评注】画出与条件相对应的图形，实现“数”向“形”的转化，再根据“形”的特征及性质，建立符合条件的关系式，实现“形”向“数”的转化，这种“数”与“形”融为一体的解题方法，是解函数综合问题的重要方法．因此，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，回避数的冗长与生涩难懂，效果事半功倍．

【变式练习】（2011·河南省联考）已知函数f（x）＝x3＋2x2－ax＋1．若函数g（x）＝f′（x）在区间（－1，1）上存在零点，求实数a的取值范围．

【提示】此题可以用分离参数转化为3x2＋4x＝a在区间（－1，1）上的有解问题，也可转化为直线y＝a与曲线y＝3x2＋4x在（－1，1）上的交点问题，同时要数形结合．

（作者单位：甘肃省张掖市临泽一中）