一类含有等式的向量题的解题方法

浙江 李承法

一类含有等式的向量题的解题方法

浙江 李承法

向量题目常有等式c＝λa＋μb（λ，μ∈R）出现，对于这类等式相关问题处理得当，可有效提高解题效率．笔者就此类问题常用的解题方法作了整理，以飨读者．

一、两边平方法

【评注】将等式化为c＝λa＋μb（λ，μ∈R）形式后，若已知其中的向量模或夹角的，可采用两边平方法求得问题的解．

【变式练习】在平面上给定边长为1的正三角形OAB，动点C满足，则点C的轨迹为（ ）

A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

二、两边数量积法

A．30° B．45°

C．60° D．90°

【评注】已知向量等式中有关向量的模或夹角的，可以在等式两边同时乘上适当的向量，得到方程或方程组，从而求得问题的解．

A．外心B．内心

C．重心D．垂心

三、几何法

【例4】O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A．外心 B．内心

C．重心 D．垂心

【评注】利用向量加法的平行四边形法则或者平面向量基本定理，图形的几何性质（本例运用解直角三角形）数形结合来处理，直观易解．

四、坐标法

【例6】（2013·温州一模）已知平面向量a，b，e，满足｜e｜＝1，a·e＝1，b·e＝2，｜a－b｜＝2，则a·b的最小值是________．

【解析】设e＝（1，0），a＝（x，y），b＝（m，n），则可得x＝1，m＝2，∴a＝（1，y），b＝（2，n），由｜a－b｜＝2得｜（－1，yn）｜＝2，∴1＋（y－n）2＝4，（y－n）2＝3，即y2＋n2＝2yn＋3，又y2＋n2≥－2yn，∴y2＋n2＝2yn＋3≥－2yn，∴yn≥

【评注】在题设条件中有多个向量等式时，用向量的坐标来转化方程（组）或者不等式组来求解．

【变式练习】（2015·浙江模拟）已知向量a⊥b，｜a－b｜＝2，定义：cλ＝λa＋（1－λ）b，其中0≤λ≤1，若，则｜cλ｜的最大值为（ ）

五、投影定义法

【例7】如图4，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则的值为（ ）

A．4B．5C．7D．9

【变式练习】（2013·温州一模）已知平面向量a，b，e，满足｜e｜＝1，a·e＝1，b·e＝2，｜a－b｜＝2，则a·b的最小值为____________．

【简解】如图5，设e，a，b都以O为起点，终点分别为E，A，B，由向量数量积的几何意义知，点A在垂直于e的直线l1上，且O到直线l1的距离为1，点B在垂直于e的直线l2上，且O到直线l2的距离为2，由｜a－b｜＝2知，｜AB｜＝2，设M为线段AB的中点，由向量积化恒等式得a·b＝，因此求a·b的最小值就转化为求｜OM｜的最小值．显然点M的轨迹为垂直于e的一条直线l3，而O到直线l3的距离为

在各地模拟题和高考题中，含有c＝λa＋μb（λ，μ∈R）的向量题屡屡出现，常考常新，对这样的向量试题不应该惧怕，综上可知用向量的“数”和“形”两个属性，运用两边平方，两边数量积，坐标法或几何法，涉及平面向量数量积的问题还可以用投影—数量积几何意义或者向量积化恒等式来求解，可以有效解决问题．

（作者单位：浙江省开化中学）