模型建立与概率组合问题的解决

王耀嘉

摘 要：当今社会，数学无处不在，只要平时用心观察，就会在生活中发现各种各样的数学问题。概率与组合的问题以及其解决办法，是日常生活中每个人都会接触到的一类数学问题。对此，教师帮助学生解决生活中出现的概率组合问题，充分展现数学在生活中的应用，以使学生更好地学习知识。

关键词：概率;组合;数学建模;问题解答

中图分类号：G63          文献标识码：A          文章编号：1673-9132（2016）10-0245-145

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.10.039

一、引言

生活中的概率组合事件非常多，比如游乐场的扔圏套娃娃游戏，圏的大小影响了套中娃娃的概率，直接影响着商家能不能盈利，所以这个小小的圏里其实有着大大的计算。复杂一点的比如离我们最近的人身伤害保险，其实保险公司在销售这款保险产品之前会做一个复杂的模型。模型中包含了通过一系列分析计算得出的投保人群的可能受伤害的概率，通过这个规律，保险公司可以制定出一套保险方案包括投保金额，理赔金额等等。最终而言，即便理赔金额远远大于投保金额，但保险公司还是盈利的。

又如，现在的彩票中奖问题。彩票作为一个概率事件，中奖的几率是非常低的，以从前非常流行的35选7为例，一等奖中奖率有多低？我们可以做一个计算35个数字组合可以有C357=6724520种可能，买一注就中奖的可能只有1/6724520，所以说这个中奖率是非常低的。

数学组合的问题同样十分贴近生活，它在生活中非常常见。比如，求a个球队参加的比赛中，每队只与其他队各比赛一次的总比赛的场数。又如，一个人要把一匹狼，一只羊和一棵大白菜运到河对岸。而当人不在的时候，狼会吃羊，羊会吃大白菜，而这个人的船每趟却只能运其中的一只。问这个人怎么做才可以都运过河。

诸如上述概率组合问题是在生活中会经常遇到又常常需要解决的一类实际问题，那么应该如何运用自己所学的数学知识来解决上述问题呢？

二、建立针对同类问题的数学模型

首先，建立一个和上述问题相一致的数学模型，从而更好地探究同类问题。

建立数学模型就是通过已经学过的数学方法和数学原理来构建一个易懂的、生活中实用性很强的数学模型，进而阐述比较困难的数学问题。数学模型的建立遵从以下步骤：

1.分析问题，找到问题本质。

2.非必要因素忽略，简化问题。

3.通过数学计算归纳出这类问题规律。

4.最终与要研究问题相对比，找出相应问题的统一处理办法。

三、应用举例

仍以上文提到的保险赔偿问题入手，通过实际的问题解答来深入分析数学模型的建立对实际问题解决起到的帮助。

例：某中学为在校学生投保人寿保险，据了解学生在校受到严重意外伤害的概率是0.002，学生须缴付保险费为每人每年12元。如果学生在校期间一旦发生意外事件而受到伤害可获得保险公司的赔偿为2000，此时保险公司是否盈利，其盈利的概率是多少，且获利不少于10000元的概率是多少？

通过感性的认识，很难感受到保险公司的利润率到底是多少？保险公司在提供相对投保金额十分高昂的赔付金额的同时是如何保证盈利的呢？通过建立起简单的数学分析模型来看到对于这些生活中的概率问题来进行更细致的解答。

首先设参保的2500人中在一年的参保期内受到意外伤害的人数为X，那么X的取值可以有0，1，2，……2500，而且X服从分布ξ（2500，0.002）。此时用A表示“保险公司盈利”，B表示“保险公司盈利大于10000元”，由上述的问题所知：

A={2500×12-2000X>0}={X<15}

B={10<x<15}

于是，可以通过计算的：P（A）=P{X<15}

=∑14i=0 C125000.002i0.9982500-i

≈0.999931

于是，可以通过计算的：P（B）=P{10<x<15}

=∑14i=11Ci25000.002：0.9982500-i

≈0.98305

有上述计算可以很容易地发现，保险公司的盈利概率竟高达0.999931，而盈利在一万元以上的概率也达到了0.98305。通过上述建立数学模型的分析与计算，可以清楚地看到保险公司的盈利保证是十分高的，这是其他行业所不能比拟的利润保证，所以保险公司是很乐意接受这类保险业务的。

通过一个简单的模型建立与计算，可以通过直观地数字对比看到明确的结论，这是在日常生活的问题解答中为什么要保持数学思维的一个重要原因。其实，保险公司在销售每一款保险产品之前都会建立一个更加复杂的模型。这个模型中会包含了通过一系列分析计算得出的投保人群的可能受伤害的概率，通过计算得到一个规律，此时保险公司在根据得到的结果制定出一套保险复杂而详细的方案包括投保金额，理赔金额等等。最终而言，即便理赔金额远远大于投保金额，但保险公司还是盈利的。

当然，这只是现实生活中概率问题的一个简单案例。还有很多看起来想当然的问题，其实需要通过良好的数学思维和扎实的数学基础去建立相应的数学模型来分析和解决。通过数学的眼光看待一些问题，可以纠正一些感性认识的误差进而得到一些原来并不认同的事实。因此数学，是一个只用事实说话的最基础最复杂的自然科学。

四、结语

数学是一种非常世界通用的语言，它能够准确清晰而且间接地说明生活中的很多不同现象。需要养成运用数学语言与生活中的各种现象进行沟通交流的习惯，如乘坐出租车的时候去发现乘坐的里程数与乘坐时间，付费多少之间的函数关系并建立模型。这种通过建立模型并解决实际问题，再通过观察并分析提炼出问题的关键点，然后再把这个问题具体化地归类到某个知识点，再去逐个攻破，便能够从一个个的生活中的数学模型中感悟到数学建模的广泛的用处，这样也就能够激发我们对数学产生浓厚兴趣的潜在心理，从而提高了运用数学知识到实际应用中的能力。

[1] 刘翠霞.四种模型解决排列组合概率问题[J].中学数学教学参考，

2015（Z3）.

[2] 张唯一.高中概率教学中模型思想的渗透与培养[J].数学通报，

2013.

Solutions to the Model Establishment and Probability Combination

WANG Yao-jia

（Hengshui No. 1 High School， Hengshui Hebei， 053000， China）

Abstract： Mathematics is everywhere in todays society. We can find a wide variety of mathematical problems as long as we observe attentively. The problem of probability and combination is a mathematical problem we usually come into contact with in daily life. Teachers should help students to solve the problem of probability and combination， fully demonstrate the application of mathematics in life， in order to make students better learn the knowledge.

Key words： probability; combination; mathematical modeling; solutions

[ 责任编辑 赵建荣 ]