探究数列典型问题

李沫兰

摘 要：数列是我们从中学时期就会接触和涉及的一个知识点，虽看似简单却蕴含着很玄妙的数学规律，值得我们去深入探讨。我们通过了解数列的产生和发展过程，可以发现数列中所代表和体现的数学规律之美。其中，菲波那切数列更能体现出数学的应用之美。

关键词：数列;历史;应用;菲波那切数列

中图分类号：G63          文献标识码：A          文章编号：1673-9132（2016）10-0245-151

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.10.036

一、数列的概念

数列（sequence of number）是一列有序的数。它是以正整数集或它的有限子集为定义域的一种函数。数列中所包含的每一个数叫做这个数列的项。排在这个数列第一位的数称之为首项（通常也叫做数列的第1项），而排在第二位的数称为数列的第2项……依次类推排在第n位的数则称为这个数列的第n项，通常使用来an表示。

开始接触并学习函数的知识以后，可以发现，数列其实是一种比较特殊的函数。它的特殊性主要表现在数列的定义域和值域上。一般的，数列可以被看做是一个定义域为正整数集N*或者其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能被省略。

可以看到用函数的观点认识数列是一种重要的思想方法，一般情况下，函数通常有三种表示方法，同样的数列也有三种表示的方法：1.列表法;2.图像法;3.解析法。其中解析法包含以通项公式表示数列和以递推公式表示数列。因为函数不一定有解析式，所以同样的数列也并非都有通项公式。

（一）数列的分类

常用的数列通常有以下几种：“有穷数列”（finite sequence），项数有限的数列;“无穷数列”（infinite sequence），项数无限的数列。正项数列，数列的各项都是正数;递增数列，即从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列;递减数列，即从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列;摆动数列，从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列;周期数列，数列各项呈周期性变化的数列;常数列，各项相等的数列。

（二）数列的表示

数列有时会有很多项数，而有的无限数列的项数是无穷的，那么应该如何更好地表示数列呢？通常我们使用通项公式和递推公式来表达和表示一个数列。

1.数列的通项公式，即数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以通过同一个式子来表示，即数列的通项公式。如an=（-1）n+1+1，可以注意到首先有些数列的通项公式可以有不同形式，而有些数列没有通项公式。比如，素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，……这个数列就没有通项公式。

2.数列的递推公式，即表现数列的某一项和它的前一项或前若干项之间关系的式子。数列的递推公式同其通项公式的特点类似，即有些数列的递推公式是不唯一的，可以有不同形式。同样有些数列也可以没有递推公式，且有递推公式的数列不一定有通项公式。

二、数列的产生与发展

数列是除去数字、三角、函数之外的另一个非常重要的数学概念。数列很早就体现出了人类的睿智，因为它不仅推进了级数的产生和组合的发展，还充满着人文气息和人类智慧，并被广泛应用在艺术、建筑等诸多领域，是数学中的重要模型。

数列的历史十分悠久，在古代中国、古印度、古希腊、古代阿拉伯等历史中都可以发现数列的记载和介绍。在古代中国，《庄子》中就有：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”的记载。而在古巴比伦，约在公元前20世纪的石板上记录了以下数字：1，4，9，16，25，36，49，……其实这是现在非常常见的自然数的平方和。同时，中国的《九章算术》或西方的欧几里得的《几何原本》都对数列有丰富的记录。关于数列，还有许多经典的命题广为流传，像熟悉的数学家高斯幼年巧算1到100自然数和的故事，以及国际棋盘上叠加小麦的问题和比较著名的阿莫斯之谜等。不仅在数学研究上，在自然界和生活中，数列依然随处可见。下文将就菲波那切数列的单独分析来揭示上述讨论。

三、菲波那切数列

菲波那切数列是一个比较常见的数列，学生应该都比较熟悉，即0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……这个数列的特点是从第三项起，每一项都等于它的前两项相加之和，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现的，自斐波那契数列发现之时起，就引起了人们的广泛关注。

在数学表示上，斐波那契数列可以表示为：

F（n）=0，当n=0时;

F（n）=1，当n=1时;

F（n）=F（n-1）+F（n-2），当n>1时。

（一）斐波那契数列的相关数学性质

1.与黄金比例的关系。通过研究可以发现，对于菲波那切数列的各项来说，相邻两项的商，越靠后就越接近0.618，而通过通项公式去求相邻两项商的极限其结果正是黄金比例，因此，菲波那切数列又称为黄金比数列。

2.简单的规律。透过数列我们可以发现其中一些简单的规律：每3个连续的斐波那契数有且只有一个被2整除，每4个连续的斐波那契数有且只有一个被3整除，每5个连续的斐波那契数有且只有一个被5整除，每6个连续的斐波那契数有且只有一个被8整除，每7个连续的斐波那契数有且只有一个被13整除，……每n个连续的斐波那契数有且只有一个被整除。

（二）斐波那契数列的应用

除了在数学方面的研究外，菲波那切数列在很多领域都有着广泛的应用。

1.物理学。在已学到的氢原子能级方面，在氢原子吸收能量发生能级跃迁时，电子所处的状态可能的情形是：1、2、3、5、8、13、21…种。这就是斐波那契数列的一部分。

2.计算机科学。在计算机算法方面，同样可以应用到斐波那契数列。如斐波那契堆（Fibonacci heap），它是计算机科学中，最小堆有序树的集合。可用于计算机计算时实现合并优先队列。通过斐波那契数列算法的应用，它可以不涉及删除元素的操作的平摊时间，和另一种算法二项堆相比是巨大的改进，大大提高了计算速度。

3.自然界。在自然界中，很多动植物的生长都遵从斐波那契数列的规律。一些植物的萼片、花瓣、果实数目以及排列方式上，都非常符合斐波那契数列，如菠萝、松子等。而贝壳螺旋轮廓线则符合斐波那契螺旋。

四、结语

数列从古至今的发展可以看到，在每个细微的方面深入思考，都可以有很深入的发现。这也是每个人在学习上应当具备的优良品德。通过数列这一小小的切入点，也可以看到数学是如此实用和美妙的学科。正是对数学的研究才逐步推动着各个领域科技的进步与发展，也需要一代代人们努力去研究，让数学的发展更进一步。

[1] 王君行.斐波那契数列的一些有趣性质[J].数学通报，2009（3）：

60.

[2] 闫萍，王见勇.斐波那契数列与黄金分割数[J].高等数学研究，

2005（1）：28-29.

Exploration on the Typical Problems of Sequence of Number

LI Mo-lan

（Handan No. 1 High School， Handan Hebei， 056000， China）

Abstract： Sequence of number is a knowledge point that we commonly contact in high schools. Although it seems simple， it contains a mysterious mathematical law which needs further exploration. We could find the mathematical laws of beauty in sequence through analysis on the emergence and development process of sequence. Among them， Fibonacci Sequence could particularly reflect the beauty of mathematics.

Key words： sequence of number; history; application; Fibonacci Sequence

[ 责任编辑 赵建荣 ]