信息化时代大学数学教育改革初探

杨 辉，汪忠志

(安徽工业大学 数理科学与工程学院，安徽 马鞍山 243002)



信息化时代大学数学教育改革初探

杨 辉，汪忠志

(安徽工业大学 数理科学与工程学院，安徽 马鞍山 243002)

现实世界的数学和大学教育中的数学差距越来越大，改革的主要方向是正确认识数学学习的过程、目的和步骤，把传统的主要培养学生计算能力的教学方式转变为利用智能设备进行编程计算和思考解决问题的方式的教学中来。

大学数学；学习目的；学习步骤；课程体系；评价体系；教育改革

一、大学数学教育存在的问题分析

毫无疑问，当今世界的数学教学存在一些大的问题。如果你问政府人员，他们会告诉你，数学没能担负起国家重任；如果你问学生，他们会告诉你数学很难学；如果你问老师，他们会告诉你，想让学生学好数学真的很难。而现实世界中其他想学数学的人，包括雇主和日常生活中的人们，却发现自己没有足够的数学能力。这很离奇，数学这门课在教育中让很多人倍感气馁，但是现实世界中，它却表现出人类历史上前所未有的重要性。世界越来越量化，越来越依赖数学，我们的经济比以往任何时候都更需要数学的推动。因此，问题就在于，教育中的数学和现实世界的数学之间，差别在哪里？如何纠正？我们认为，答案就在我们面前，计算机和智能手机或ipad等。数值计算、符号演算以及数学软件包等计算机技术的高速发展, 不但可以代替许多人工的推导和运算, 而且正在改变着人们对数学知识的需求, 冲击着传统的观念和方法。[1]计算机是划分现实世界的数学和现在教育的数学的一大重要因素。计算机的横空出世，能缩小每个学习数学的人从“知道”到“做到”、从“做到”到“做好”之间的距离，它要培养的是解决问题的高手，而这样的人正是当今社会急需的人才。[2]现实世界中数学的关键在于求解问题建立数学模型并模拟其结果，分析结果，评判它们，但在教育教学中数学却非常的不同，数学只是计算，多数时候是用手来算，幸运的话或许能使用计算器。数学题都很小，而且似乎与现实世界相隔甚远。

二、数学学习的目的和学习数学过程的步骤

为了更好地解释我们讲的是什么以及我们应该做什么，我们先从一个问题开始：为什么要学习数学?尤其是为什么世界上每个人都应该学习数学？我们认为，主要有三大目的：第一个目的是技术工作特别是科学计算能力，技术工作比任何其它工作对经济的推动都大，几乎所有的研究都显示，数学及进一步的STEM(科学、技术、工程和数学)的能力是推动经济发展的重要能力。因此，对于我们的经济而言，让人们学习数学非常重要。科学计算能力概括地说主要包括数学建模能力、数学运算能力和计算机辅助计算与仿真能力等。[3]第二个目的是日常生活，要在任何经济体特别是发达经济体中生存，你需要比原来更多的定量分析能力。无论是同按揭贷款打交道，还是考虑要不要相信统计数据，你都需要良好的数学基础才能去考虑是否信任某一答案，去建立并理解问题。第三个目的可以称之为逻辑思维训练。数学一直是人类理解如何推理的重要尝试，无论对数学本身还是对生活的其他方面，对经营还是仅仅对于思考世界都是非常强大的工具。但是我们现在所教的数学完全实现不了以上目的。

下面再回过头来思考：什么是数学，从事数学或学习数学是什么意思。我们认为整个数学过程可以分成四步：第一步是提出正确的问题，如果你针对某种情况提出错误的问题，你几乎肯定得到错误的答案，所以你要提出正确的问题，然后你需要用数学公式描述现实世界，建立起数学形式之后，就可以开始第三步计算，计算意味着从数学式子得到答案，第四步是将数学答案放回现实世界并进行验证。疯狂的是，世界范围内，学生80%的学习时间都花在手动进行第三步上，而这一步恰巧是计算机唯一比人类更擅长的一步，我们应该用计算机来做第三步，除了少数需要训练心算的教学情况外，我们应该让学生更多地去做第一、二、四步。我们不希望学生成为三流计算机，而希望学生成为一流问题解决者。关键是要意识到数学不等于计算，数学要远大于计算，计算可以说是一种你希望尽量避免的东西，它是一种实现目的的手段，而不是目的本身。因此，能更好地让计算机自动化，就能更好地解决更高层次的问题，这是一个重大问题。

人们会问，作为文化的一部分，难道我们每个人不应当学习数学吗？我们请这一问题的提问者对比古希腊语，在欧洲，有些人将古希腊语当做一门学科在学习，但是这是一门很专业的学科，我们不能让全世界所有人都在一生中抽出10年学古希腊语。我们认为数学应该教授我们所描述的那些内容，需要进行区分并认识到，这是一项重大的人类努力，需要有很好的理由才能这样做。下面我们想区分两种方式，这两种方式中，技术怎样用于数学是不同的，这里我们要讲的主要是基于计算机，这让世界过去十年焕然一新，这是因为计算机将数学从计算中解放出来，并把它运用到教育中。数学在现实世界中变化很大，因为计算机在进行计算。现在需要变革我们的数学教育模式，让其模仿现实世界，这是基于计算机的，运用计算机来改善我们的学习过程，这也很重要。但我们不能把两者弄混淆，实际上我们需要计算机的辅助，来帮助基于计算机的数学学习过程。但是计算机辅助本身不够，将错误的问题利用得再好也不能让其成为正确的问题。那么，人们为何反对我在数学方面的主张呢？反对者会说，你需要先了解基础。我想，他们的意思是，你需要先懂得手算的原理，再去用计算机算。但是想想，要了解什么样的基础，难道学习开车的基础是学习如何设计和维修车辆吗？在我们看来，数学是解决问题的那四步，我们应该小心确保将重点放在我们所关心的目的上，而不是放在我们用于实现目的的手段上。关于基础，技术发明的顺序影响了人们思考什么是更基础的东西，纸比计算机发明得早，并不意味着它是更基础的东西。我们在课程设计中存在一个错误，它和这个问题相关。也就是说，我们如何考虑这些数学课程，典型的数学课程中，有配方法、求逆矩阵等，求解方程组，这都和计算方法有关，都是以机械方法为中心的。我们认为数学应该是以问题为中心。有个例子说明两者在文化上具有重大差异，这些问题在孩子们甚至成人求解时，应该能够激发他们的求解渴望和兴趣，设计一种货币，你需要什么硬币和纸币，对于城市，基于交通，我们应该什么时候出发去上班或上学。如果我们早出发一点，我们会到得很早，但是我们如果出发晚一点，我们又会到很晚。这是一个很复杂的建模问题。

下面看看第二种反对意见：“计算机让数学变得愚钝”。我们希望反对者看看现实世界，你们还相信计算机降低了生物、物理、工程、音乐等相关学科中所要求的概念性数学吗？事实其实正好相反，这些科目的问题所用到的数学工具越来越复杂，这是以往任何时候都比不了的。当然，你也可以想到，这应该也能适用于教育。只要正确使用计算机进行计算，你就可以求解更难的问题。你走得更远，让人们获得更多经验，这是关键。人们需要体验数学，并获得相关经验，当然计算机使用方法也可能是错误的，例如将一切都换成选择题来方便打分，还有人自豪地说，用计算机系统教学生如何手算求解二次方程，计算机在这里被当作老师，教学生本来该计算机做的事情，在我们看来，这完全反了。我们应该让计算机来求解方程，让学生明白为什么要求解方程，问题是什么？有了计算机后，你可以进行更复杂的计算了，比如到大学毕业甚至博士毕业，我们的学生甚至部分老师也只会求解一元二次方程，相同的问题，而现实世界的数学问题可能是三次甚至更高阶的方程才能描述的，而一个数学软件就可以求解三次甚至更高阶方程。

第三种反对意见：手算步骤教会学生如何理解。我们不得不说，大多数人在学习数学时，只是学习步骤。我们承认，步骤化是生活的一个重要方面。但有一种明确的步骤化，我们会把它写出来，也就是计算机程序，相关过程叫做编程。我们认为，编程之于数学就像作文之于语言。编程让你能够写下你对一个问题的理解，好处在于可以运行程序，实际用它来做事，所以编程是早期数学教育的关键部分，他应该是高等教育的一部分。作为一种表达方式，我们希望数学更具有实践性，同时更具有概念性。现在振奋人心的是，我们不需要选择，现实世界中的数学在智力和概念性上要比我们现在所讲授的数学强很多。通过模拟现实世界，我们将同时提供实践应用和概念理解，具体在哪个邻域都没有关系，有很多事情是可以立刻去做的，而且，采用基于计算机的数学让我们能够重排课程体系。

三、改革大学数学课程体系和评价体系

现在，课程体系是根据计算复杂度排序的，根据计算的难度，实际不该如此，应该按照概念复杂度排序更好，根据理解事物的难度，计算可以交给计算机。以微积分为例，我们通常是先讲微分再讲积分，实际上，积分从概念上很好理解的，我们通常上课主要讲解如何计算，谁算得对快，谁就是“优秀”的学生。例如，如何求一个圆的面积这个例子，我们通过增加多边形的边数，不断增加，直到边数非常大，然后图形看起来很像一个圆，这很激动人心，如果边变得非常非常小，就可以基于无穷小边的概念，来进行计算。边数等于无穷，每一段无穷小，微分学这是最开始，这是我们关于如何计算世界中事物的基本概念，这是非常有用非常强大的概念，这提供了一种直观感受，不是让学生迷失在计算中，而是让学生能够体验数学能做些什么。世界很多地方的一大障碍是评估，有一个问题是，评估是让教育更好了还是更糟了。这要看情况，但我们认为就数学而言，如果所有人都在评估手算能力，而不是问题解决能力，这样会限制计算机在数学教育中的作用，所以，我们要修正评估方式。

现在我们想讲，数学改革已经很多年了，为什么要现在思考这一问题？原因有很多，我们这样总结一下，这样做的动机很充分，现实中的数学和教育中的数学之间差距在逐渐拉大，问题一天不解决，鸿沟就会越来越大。在大学里已基本实现计算设备的普及，另外一点是界面，最近很多计算机工程方面的尝试都在试图优化我们同计算机打交道的界面以及增强基本功能，现在的大学生基本普及手机和ipad等现代化通信设备，这些智能设备都可以进行数学软件的运行。让学生超越他们能够综合的数学水平去理解更复杂的情况，这是一个非常重要的标志。我们想总结的不仅是基于计算机的数学，还有一些我们在这里听到的技术事实。有人讲到让数学转向个性化学习，我们认为这是很关键的，还有在线学，MOOC, 还有使用真实数据的能力，实际使用世界的真实数据，不要只使用五个点的统计数据，使用昨天来自金融市场的一万个实际数据点，这些都是我们能通过现代计算机技术及我们刚刚讲到的科学技术来实现的。

四、结语

有一些情况不仅仅存在于数学教育中，我们应该在整个教育中处理，也就是自动化的现实世界中机械化的作用。随着世界越来越自动化，问题是我们在教育中如何应对？一种应对方式是继续在教育中避开机器的使用，按照历史上的老一套来做，先学会用手做，然后接受教育后再去使用机器。我们认为这种方式是错误的。它经不起时间的检验，最终必将被淘汰。另一种力量是依靠自动化的力量，使用最好的现实世界工具，接受他们存在的事实，依靠它们来走得更远。过去数十年见证了STEM 的转变，特别是数学，推动STEM 获得自动化，计算机对所有的古老学科进行了最伟大的改造。它改变了这些学科的基础，使其自动化，使其机器化，我们应该借助于这种力量。我们坚信，基于计算机的数学将是必然的，无论以什么形式，未来25 年，如下两件事中一件会发生在数学上：数学要么像古希腊语一样，成为高度专业化的学科，感兴趣的人可以去学习，但不该强迫全世界都学习它，或者它将转变为一种现实世界的模拟，转化为基于计算机的现实世界数学。一大问题是从哪里开始，哪个国家，哪些国家会抢在其它国家前面应用这些，并比其它国家更好地推进STEM 教育，我们希望能够加入世界数学教育的变革中来，希望参与者都从这个过程中获得乐趣，特别是学生。

学习逻辑思维能力的方式有很多，例如一个很好的方式是编程。用手算来学习逻辑是非常错误的，因为这对大多数人根本没有用，他们很多时候并没有学到逻辑，而是学了一些他们根本不理解的计算过程。

[1]阿拉斯泰尔·L·德.精通Excel金融建模[M].吴建刚,译.北京:人民邮电出版社,2012.

[2]赵云河.从数学思维的发展看数学教学[J].内蒙古财经学院学报(综合版), 2004(3):81-83.

[3]周芳芹,汤剑,朱溦.工科大学生科学计算能力培养的思考[J].太原师范学院学报，2013(2):38-40.

(责任编辑 汪继友)

A Preliminary Study on College Mathematics Education in Information Age

YANG Hui, WANG Zhong-zhi

(School of Mathematical Science and Engineering, Anhui University of Technology, Ma’anshan243002,Anhui, China)

The gap between math in reality and that of college education is getting bigger. The general direction is to correctly understand the process, the goal and the steps of learning math and transform the traditional teaching mode that aims for cultivating students’ calculating skills to the teaching of solving problems through thinking and smart devices of programming calculation.

College Mathematics;learning objective;learning process;curriculum system;assessment system;education reform

2015-10-22

安徽省高等学校质量工程项目:数学与应用数学专业综合改革试点(2014zy023)；安徽省高校省级教学研究项目:基于数学文化的大学数学教学模式的构建(2015jyxm110)；安徽工业大学教学研究项目:数学文化课程建设的探索与实践(2014jy33)；安徽工业大学青年教师科学研究项目(QZ201418)

杨 辉(1980-)，男，安徽池州人 ，安徽工业大学数理科学与工程学院讲师，博士。 汪忠志(1965-)，男，安徽安庆人，安徽工业大学数理科学与工程学院教授。

G642.0

A

1671-9247(2016)02-0095-03