简单机械运动中v—t图像与s—t图像的辨析和使用

艾德臻

摘 要：图像也是一种语言，它比文字更加形象、直观，能够准确表述物理规律，描述物理过程，反映物理量之间的关系。简要分析了v-t图像和s-t图像的辨析方法，阐述了图像的作用，介绍了利用图像将复杂的机械运动问题简单化的实例，以期为日后的相关研究提供参考。

关键词：v-t图像；s-t图像；机械运动；辨析方法

中图分类号：G633.7 文献标识码：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2016.05.123

图像既是一种揭示规律的方法，也是一种研究问题的手段。运用图像可以分析物理规律，解决物理问题，将解题过程化繁为简，使整个过程明了、直观，进而收到意想不到的效果。下面，举例说明简单机械运动中v-t图像和s-t图像的辨析方法及其使用技巧。

1 从运动本质巧析图像含义

耳熟能详的龟兔赛跑的故事常常会被作为认识和学习s-t图像的典型事例。在龟兔赛跑的故事中，忽略起跑和终点冲刺，整个跑步过程可按照匀速直线运动制作理想化的s-t图像，如图1所示。图1中的横坐标表示时间，纵坐标表示位移，倾斜的直线表示位移随时间的均匀变化，平行于时间轴的直线表示位移不随时间变化（即物体静止不动）。从图1中可以看出，乌龟一直在做匀速直线运动，而兔子匀速运动一段时间后静止不动（睡着了），然后又匀速运动。至此，故事的发展和结局一目了然。

学习v-t图像时要遵循“从简单入手”的原则，而匀速直线运动是理想的选择。因为学习物理量的矢量特征是比较困难的一件事，需要一个过程。图2为匀速直线运动v-t图像。图2中的横坐标表示时间，纵坐标表示速度，一条平行于时间轴的直线表示的物理意义是物体的速度不会随着时间的变化而变化（即物体保持匀速运动）。另外，从图2中可知速度、方向等信息，而匀速运动的物体位移公式与图中阴影部分的面积相等。由此可知，匀速直线运动中图像与坐标轴围成的面积与物体在这段时间内发生的位移相等。

表1 时间与速度的对应情况

时间（t）/s 速度（v）/（m/s）

0 4

1 6

2 8

3 10

… …

了解和分析了运动本质后，介绍了3种简单的匀变速运动图像，如图4所示。

图4 简单的匀变速运动图像

每一种图像所对应的运动物体的初速度及其方向、加速度及其方向、运动类型和速度变化规律都可以从图中求得。此时，一般难度的问题已经难不倒学习者了，具体的图像如图5所示。由图5中的v-t图像可知，OA段为匀加速直线运动，AB段为匀速直线运动，BC为匀加速直线运动；由图5中的s-t图像可知，OA段为匀速直线运动，AB段物体静止不动，BC段为匀速直线运动。

图5 v-t图像和s-t图像

2 从图像本质探究图像作用

只有认识和了解图像的物理意义，才能进一步探索图像的作用，进而在解决实际问题时合理利用它。

2.1 判定运动类型

在之前的学习中了解到，无论是s-t图像还是v-t图像，都可以帮助我们判定运动的类型。由图像与时间轴所成的夹角可知物体是静止不动的，还是做匀速运动、加速运动或减速运动。

2.2 获取速度、位移与时间的对应关系

通过相关图像可以获取任意时刻速度与时间、位移与时间的对应关系。由图5中的v-t图像可知，15 s末物体运动速度为6 m/s；从s-t图像中可知，在15 s内，物体的位移为6 m。

2.3 利用图像斜率求加速度或速度

在图5的v-t图像中，BC段的斜率 表示物体在

7.5～15 s内的加速度；在s-t图像中，BC段的斜率

表示物体在7.5～15 s内的速度。

2.4 用面积法求匀变速直线运动的位移

在v-t图像中，速度图线和时间图线围成的面积是匀变速直线运动平均速度的位移。如图6所示，阴影部分的面积可利用梯形的面积公式求得，即：

. （1）

式（1）中：s为梯形的面积，即匀变速直线运动平均速度的位移；v0为梯形的上底；vt为梯形的下底；t为梯形的高。

与匀速直线运动一样，在匀变速直线运动中，图像与坐标轴围成的图形的面积等于物体在这段时间内发生的位移。这样，就避免了在复杂的变速运动中用大量烦琐的公式求位移。如图7所示，要想求物体在10 s内发生的位移，可以直接利用梯形面积求解，以替代烦琐的公式，即：

. （2）

将相关数值代入式（2）中可得，s= =56 m。

图6 利用v-t图像中的面积求匀变 图7 利用梯形面积求物体

速直线运动平均速度的位移 在10 s内发生的位移

3 用图像信息巧解生活中的物理问题

掌握了图像的意义和作用后，通过实例来探究如何利用图像快速、有效地求解物理问题。

例1：一辆货运列车以20 m/s的速度匀速行驶，当它经过车站时，平行轨道上的另外一辆静止的高铁瞬间开动，并以2 m/s2的加速度追它，请问用多长时间才能追上？追行路程是多少？

分析：解决这个问题的关键是根据研究对象始末同时、同地的对应关系得出两辆车在追行过程中时间相等、位移相同，进而联立方程求解。但是，如果能根据题目画出车辆运行的v-t图像，那么，这个问题就更容易解决了。

解：根据题意画出车辆运行的v-t图像，如图8所示。当高铁追上货运列车时，两辆车的位移相等，则图8中阴影部分的2个三角形全等。由全等三角形的对应关系可知，vt=40 m/s。

由vt=at得，高铁追上货运列车所需时间为 。

因为是匀速运动，所以，追行路程s=vt=20×20=400 m。

因此，高铁运行20 s就能追上货运列车，追行路程为400 m。

例2：A，B两辆汽车沿同一车道同向匀速行驶，A车行驶在前，运行速度为8 m/s，B车行驶在后，运行速度为16 m/s。当B车距离A车16 m时，为了避免追撞，B车驾驶员开始减速。求B车加速度的最小值是多少？

分析：这是一个有难度的运动问题，必须将刚好不发生碰撞的临界条件用物理量表示出来，即两车在相遇的瞬间有相同的瞬时速度。将此作为已知条件，可从运动学方程出发联立方程组求解。但是，在此过程中，对方程的理解和运用要求比较高，运算量也比较大，如果可以根据题意画出运动v-t图像，则事半功倍。

解：根据题意画出车辆运行的v-t图像，如图9所示。在0～t这段时间内，A车始终匀速运动，B车一直做匀减速运动，它们的运行轨迹与坐标轴围成的面积之差等于两车的原始距离16 m，而在t时刻，两车恰好相遇，并且运行速度相同。

在这道题中，可以用两车的运行轨迹与坐标轴围成的面积

之差表示位移差，即 . 这时，求解可得，t=4 s，

所以，B车的加速度为 （负号表示汽

车刹车做匀减速运动，加速度方向与运动方向相反）。由此可知，如果两车恰好不相撞，则B车的加速度至少为2 m/s2。

4 结束语

综上所述，在辨析v-t图像和s-t图像时，要理解图像与坐标轴的对应关系及其所表达的物理意义，进而揭示运动的本质。借助图像不仅可以分析物理问题，还可以解决实际生活中的问题，它既体现了数形结合的思想，又解决了问题，值得推广。

参考文献

[1]王尚清.利用图像法巧解运动学问题[J].甘肃科技纵横，2009（3）.

[2]胡志安.匀变速直线运动的v-t图像中“隐含”的特殊意义[J].物理教学探讨，2013（9）.

[3]娄高华.尝试用图像解匀变速直线运动问题[J].物理通报，2013（1）.