破解数列型不等式“十一招”

洪汪宝

证明数列型不等式是近年来各地高考真题和模拟题中的常见题型，因其方法灵活多变，技巧性强，具有一定难度和区分度，所以备受命题者的青睐.本文通过归纳总结数列型不等式的常见题型和解法，希望能抛砖引玉，启迪同学们的思维.

直接求和型

如果所给和式能直接求和，则先求和再根据和式的结果特点进行放缩.

招数：直接求和后放缩

由条件可知该数列是等比数列，可直接利用等

【方法点津】所给数列是等比数列，直接利用等比数列的求和公式先求和再进行放缩.

先放缩后求和型

所给式子不能直接求和，但是可以利用所给式子的特点进行适当的放缩，使其能求和，从而得到所证不等式.

招数一：借助均值不等式放缩

【方法点津】本题借助均值不等式把不能直接求和的数列转化为等差数列从而得证.注意均值不等式成立时需满足的条件，本题取不到等号.

招数二：借助放缩后裂项相消

【方法点津】所给和式不能直接求和，可以缩小其分母使其值变大，再利用裂项相消可达到目的.若n≥2时，招数三：借助放缩后有理化

【方法点津】所给和式的左边不能求和，共有n项，而右边只有两项，将分母放大，从而分母有理化达到相互抵消招数四：借助放缩成等比数列

【方法点津】因通项公式中减去1/2导致不能直接求和，于是考虑将其去掉，放大为等比数列，从而可求和.招数五：借助二项式定理放缩

【方法点津】对于幂的形式，借助二项式定理展开，去掉某些项，或者将各项进行变形，从而能得到所求.招数六：借助糖水不等式放缩不可约分转化为可约分.注意前提是真分数，真分数的分子分母加上同一个正数后，值会变大，招数七：借助函数不等式放缩

【方法点津】找到需要的函数不等式是解决问题的关键所在，而利用参数范围的端点值往往又是破题的关键，

先构造后求和型

构造法是证明数列型不等式的又一把利器，有时可以考虑构造新数列，研究其单调性；有时可以考虑构造加强不等式来达到证明的目的.

招数一：构造新数列

【方法点津】先构造新数列，通过作差或者作商找出新数列的单调性.其中构造新数列是难点所在.招数二：构造加强不等式

例10 同例5.

综上所述，原不等式成立.

【方法点津】这种证法的巧妙之处是对各项进行适当的放缩后并不能对其直接求和，而用整体代换得到要证不

数学归纳法求和型

数学归纳法是证明数列型不等式优先考虑的方法，因其具有固定的模式而显得比较简单.

招数：借助数学归纳法

例11 同例9.

【方法点津】证明与正整数n有关的命题时不要忘记数学归纳法这把利器，数学归纳法实现了利用有限证明无限，一定要验证初始值，再利用归纳假设实现归纳递推.