全面聚焦考点从容应对高考

2016-03-16郭建华于健

高考金刊·理科版 2016年2期

郭建华于健

数列是高考中一道亮丽的风景线，可谓常考常新.由于数列内容丰富，题型广泛，解法灵活，所以在每年高考命题中一直占有比较重要的地位，深受高考命题者的青睐.2015年的新课程试卷普遍考查了数列问题，题型涉及选择、填空和解答题，平均分值为17分.分析近年高考试题可知，本章考查的主要内容如下表所示：

【误区警示】

此类问题应重视对n=l和n≥2两种情况的讨论；特别注意an=Sn-Sn-1中需要n≥2.

【变式1】

设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=3n?-n+2（n∈N*），求数列{an}的通项公式.

考点一：数列的基本概念

考向：由Sn与Sn-1关系求通项公式

例1 已知数列{an}的前n项和Sn、满足Sn=3n+b，求数列{an}的通项公式.

命题透析：本题主要考查通项an与前n项和Sn之间的关系，不要忘记对an=Sn-Sn-1（n≥2）的条件的验证.

答案解析：a1=S1=3+b，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（3n+b）-（3n-1+b）=2·3n-1.当b=-1时，a1适合此等式；当b≠-1时，a1不适合此等式.所以当b=-l时，an=2·3n-11；当b≠-1时，

考点二：等差数列、等比数列的通项与求和

考向：等差、等比数列的基本运算

已知等比数列{an}的前n项和为S3，若S3+3S2=0，则公比q=_________.命题透析：本题主要考查利用方程思想求解等差、等比数列的基本量.

例3 （2013浙江）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列.

（Ⅰ）求d，an；

（II）若d<0 ，求 |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

命题透析：本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力.

答案解析：（I）由题意5a3·a1=（2a2+2）?，即d?-3d-4=0.故d=-l或d=4所以an=-n+11，n∈N*或an=4n+6，n∈N*.

考点三：等差数列、等比数列的基本性质

（1）在等差数列{an}中，若S30=20，S90=80，则S60=____.

（2）等比数列的前n项和为Sn，若Sn=48，S2n=60，则S3n_____.

命题透析：本题主要考等差、等比数列前n项和的性质.

答案解析：（1）设S60=X，又S30，S60-S30，S90-S60成等差数列，即20，x-20，80-x成等差数列，则20+80-x=2（x-20），则x=140/3.（2）根据等比数列的性质，可得Sn；S2n-Sn；S3n-S2n成等比数列，即48；60-48；S3n-60成等比数列，则48（S3n-60）=12?，则S3n=63.

考点四：利用数列的递推关系求通项公式

考向：利用数列递推关系求通项公式

例5 （1）已知数列Y满足al=l，an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式.

考点五：非特殊数列的求和

考向1：利用裂项法求数列的和

命题透析：本题主要考查利用裂项法求数列的和.

考向2：利用错位相减法求数列的和

例7 已知{an}是等差数列，其前n项的和为sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30.

（I）求数列{an}和{bn}的通项公式；

考点六：数列的综合应用

考向1：数列中的存在性问题

已知无穷数列{an}中，al，a2，…，am是首项为2，公差为-2的等差数列；am+1，am+2，…，a2m是首项为1/2，公比为1/2的等比数列（其中m≥3.m∈N*），并对任意的n∈N*，均有an+2m=an成立.

（I）当m=12时，求a2010；

（Ⅱ）若a52=1/128，试求m的值；

（Ⅲ）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m+3≥2014成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由.

命题透析：本题主要考查数列中的存在性问题的探索思路.

答案解析：（I）当m=12时，由an+2×12=an，得数列的周期为24，因为2014=24x83+22，而a22，是等比数列中的项，所以.

（Ⅱ）设amtk是第一个周期中等比数列中的第k项，则amtk=（1/2）^k.因为1/128=（1/2）⁷，所以等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项所以a52最多是第三个周期中的项.若a52是第一个周期中的项，则a52=am+7=1/128，即m=45；若a52是第二个周期中的项，则a52=a4m+m+7=a5m+7=1/128百，得5m=45.即m=9；若a52是第三个周期中的项，则a52=a4m+m+7=a5m+7=1/128，得5m=45，即m=9.综上，m-9，m-15，m=45.

（Ⅲ）因为2m是此数列的周期，所以S128m+3表示64个周期及等差数列的前三项的和.所以S2m最大时，S128m+3最大.又因为所以当m=6时，S2m取得最大值，S128m+3最大值为24=2007，因此，不存在m（m≥3，m∈N*），使得Sl28m+3≥2014成立.

考向2：利用函数思想解决数列问题

例9 设a>o，若且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是______.

命题透析：本题主要考查数列的单调性

答案解析：由数列{an}是递增数列，得解之得2

概率

概率是描述随机事件发生可能性大小的度量.概率和实际生活有紧密的联系，也是高考的重要考点之一.在近几年的每一份数学高考试卷中，至少保持有一道客观题和一道主观题，难度中等，且题型相对连续、稳定，突出考查基本概念和基本公式，同时考查同学们的抽象概括、运算求解能力.分析近年高考试题可知，本章主要考查的考点、考向、易错点如下表所示：

考点一：随机事件与概率

考向：判断随机事件的类型

下列事件：①当x是实数时，x-|x|=2；②某班一次数学测试，及格率低于75%；③从分别标有0，1，2，…，9这10个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；④体育彩票某期的特等号码.其中是随机事件的是（）.

A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④

命题透析：本题主要考查随机事件的定义.

答案解析：由随机事件的定义知②③④是随机事件，故选C.

考点二：等可能事件的概率

考向1：古典概型

（2013山东）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克，米z）如下表所示：

（I）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；

（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率.

命题透析：本题主要考查古典概型等基础知识和基本技能.

答案解析：（I）从身高低于1.80的同学中任选2人，可得到满足条件的基本事件有（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（c，D），共6个.由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人都在1.78以下的目标事件只有（A，B），（A，c），（B，c），共3个，因此选到的2人都在1.78以下的概率为P1=3/6=1/2.

（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D）（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），共10个.由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的目标事件只有（c，D），（c，E），（D，E），共3个.因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率为p2=130.

考向2：几何概型

（2012湖北）如图1，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取白阴影部分的概率是（）

命题透析：本题主要考查几何概型的概率，能正确识图是解题关键.

答案解析：令DA=1，扇形OAB为对称图形，设ACBD围成的面积为S1，两个半圆交叉部分围成的面积为S2，作对称轴OD，则过C点（如图2）.S2即为以OA为直径的半圆面积减

考点三：互斥事件有一个发生的概率

考向：互斥事件的概率

一盒中装有各色球12只，其中5只红球、4只黑球、2只白球、1只绿球，从中随机取出1球，求：

（I）取出一球是红球或黑球的概率；

（Ⅱ）取出一球是红球或黑球或白球的概率.

命题透析：本题主要考查互斥事件概率加法公式的应用.

答案解析：记事件A1={任取1球为红球{A2={任取1球为黑球}；A3={任取1球为白球}；A3={任取1球为绿球}，则P（A1）=5/12，P（A2）=4/12，P（A3）=2/12 ，P（A4）=1/12.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率加法公式得：

（I）取出一球是红球或黑球的概率为P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=9/12；