数列中有关an与Sn的问题探究

谢敏

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）05-376-01

数列中的an与Sn关系密切，即Sn=a1+a2+a3+…+an，且Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1，所以an=Sn-Sn-1（n≥2），当n=1时，a1=S1. 由此an与Sn的关系问题是高中数学的一个重要知识，也是有关数列知识的高考题中经常考查的内容之一，而学生在对an与Sn的关系把握中，也容易犯错误，比如运用公式时，把条件n≥2忽略掉，还有有时对特殊数列等差、等比数列的求和公式掌握不够。故笔者归纳总结了an与Sn有关的相关题型，如下：

一、 等差、等比数列求和公式在解题中的灵活运用

例1.（2007.天津）设等差数列{an}的公差d是2，前n项的和Sn，则 =_______

解：设an=2n+b， Sn=n2+cn

则 = =3

评注：主要考查等差数列通项，求和公式的灵活运用。

例2（2001.常德统考）{an}为首项是正数的等比数列，前n项和Sn=80，前2n项和S2n=6560，在前n项中数值最大者为54，

求：数列{an}的通项公式

解：∵Sn=80， S2n=6560 ∴q≠1

⑵÷⑴ 得1+qn=82， ∴qn=81………⑶

将⑶代入⑴有 ∴a1=q-1

∵a1>0 ∴q>1 ∴{an} 为递增数列

∵an=54 a1qn-1=54， ∴a1=

∴a1=2 q=3 ∴an =2·3n-1

评注：巧妙地先用求和公式把，S2n建立方程组，求出q>1，知{an}为递增数列，再求出a1和q，得通项an。

二、直接运用公式an=sn-sn-1求解

例3.（2007.重庆）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn，满足S1>1，且6Sn=（ an +1）（ an +2） n∈N*，求{an}的通项公式

解：由a1=S1= （a1+1）（a1+2），得a1=1或a1=2

∵a1=S1>1 ∴a1=2

又∵an=Sn-Sn-1=（an+1）（an+2）-（an-1+1）（an-1+2）

（an+an-1）（an-an-1-3）=0

∴an-an-1=3或an+an-1=0

∵an>0 ∴an-an-1=3

∴{an}是以2为首项，3为公差的等差数列

∴an=3n-1

评注：用Sn与an的关系求出an，知{an}为等差数列，进一步得通项公式。

三、运用公式an=Sn-Sn-1时注意条件n≥2

例4（2002.北京）已知数列前项和为Sn，满足 ，求通项公式an

解：∵ ∴ 2n+1=1=Sn

∴Sn=2n+1-1

当n=1 S1=a1=3

当n≥2 an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2·2n-2n=2n

又∵n=1时 a1=2≠S1=3

∴an=

评注：由前n项和Sn求通项公式an时，要分n=1和n≥2两种情况分别进行计算，然后验证两种情况可否用统一式子表示。若不能，就用分段函数表示。

四、Sn+1=Sn+an+ 1型公式的运用

例5.（2008.四川）设数列{an}的前项和为Sn，已知a1=a an+1=Sn+3n n∈N*。设bn=Sn-3n，求{bn}的通项公式

解：∵Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n

∴Sn+1=2Sn+3n

Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）

∴Sn-3n=（a-3） ·2n-1

∴bn=Sn-3n=（a-3） ·2n-1 n∈N*

评注：由Sn+1-Sn=an+1代入条件，可得为{ Sn-3n }等比数列，然后求bn。

五、巧用an与Sn的关系

例6.在数列{an}中a1= ，Sn=n2 an ， 则Sn等于（ ）

A. B. C. D.

解：∵Sn=n2 an………⑴∴Sn+1=（n+1）2an+1………⑵

⑵-⑴ 得an+1=（n+1）2an+1- n2 an [（n+1）2-1]an+1= n2 an

∴

∴ ∴ ∴选A

评注：利用了an与Sn的关系后，再利用累乘法求出an，代入原式再求出Sn。