极限是“近似值”吗？

【摘要】极限是高等教学的重要方法，也就是有限数学向无穷小分析数学过渡的关键所在，对极限准确无误的理解，对学习高等数学有着深远的意义。

【关键词】极限 无穷小 悖论

【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）01-0131-02

首先看一个数学悖论。如图在一条笔直的路上，运动之前，汽车在A点，人在B点汽车运动的速度为V，人运动的速度为U，设V>U，汽车和人从各自的位置按各自的速度同时同向作匀速直线运动。当汽车到达B点时人到达C点，汽车到达C点时，人不在C点已到达D点，如此下去，车与人的距离在逐渐缩小因为V>U，即：|AB|>|BC|>|CD|>……即汽车与人越来越近这一点是肯定的，请问如此下去车能超过人吗？客观实际当然汽车能超人。可上面给出的数学模型汽车又不能超过人，只是车与人无限接近。下面通过数学中的极限理论给予说明。这就是数学史上最著名的阿基里斯学论；公元前五世纪，芝诺发表了最著名的阿基里斯悖论，他提出乌龟在阿基里斯1000米处开始，阿基里斯的速度是乌龟的10倍，比赛开始后，阿基里斯1000米用时间t，乌龟领先100米，当阿基里斯跑完下一个100米，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米，乌龟领先1米……芝诺认为阿基里斯可以继续逼近乌龟，但当决不可能追上它。这个问题困扰人类上千年，直到十八世纪瑞士数学这家欧拉发表著名的《无穷小分析引论》，阿基悖论才得于彻底解决。数学分析的历史表明，很多变化状态的比较复杂的变量，都可以转化成一种简单而又重要的变量，即“无穷小量”我们常常把变量理论称为“无穷小分析”数列极限的定义：对于数列{an}，如果存在一个常数A，无论预先指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项an，使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于ε，即n>N时|an→A|<ε恒成立，常数A叫作数列{an}的极限，记为n→∞，an→A。极限的定义抽象难以理解，但有一点是学生是容易接受的，那就是|an→A|<ε因ε可以任意小，就说明n→∞时，an无限趋近于A、即n→∞，an→A，例n→∞，→0但是学生往往把极限理解成“近似值”即n→∞，an≈0这是对极限的极大歪曲，原因在于把“趋近”与“无限趋近”混为一谈。极限为零的变量称之为无穷小量，简称无穷小。

例：Limsinx x→0=0称为x→0时函数sinx是无穷小

Limx→2（x-2）=0称为x→2时函数x-2是无穷小，无穷小是指某过程中函数变化的趋势，“无穷小量”并不是表达量的大小，而是表达它的变化状态。“无限制变小的量”三种特点：1.无穷小的变量，不能与很小很小的数混淆。2.零是可以作为无穷小的唯一的数。3.称函数为无穷小，需要指出自变量的变化过程。无穷小与函数极限的关系：Limf（x）=A？圳f（x）=A+α（x），其中α（x）是x→x0的无穷小。下面用无穷小分析法来解决上面的汽车与人的问题。（阿基里斯悖论）现代物理学已经证明了时间和空间是可以无限分割的。如图，现给出汽车与人在运动过程中的距离函数，在某路段上给出一个分割方法，从A点以后取足够多的点，使所得到的任何线段都小于前面所有线段，即|AB|>|BC|>|CD|>……每个分点就是一个分割数，记为n，两分割点的距离记为d（n），显然d（n）与n成反比，即随着n的增大，d（n）在减小，d（n）=（k为比例常数，与路况，空气阻力等有关）按上的分割法在任意长的路段上都有无穷多的分割点，即n→∞，设汽车与人足够运动后的距离为d。

则：d=Limn→∞d（n）=Limn→∞=0 即n→∞、d（n）→0表示汽车无限趋近于人，表示汽车与人的距离“严格”为零，所以车必超过人，如果有极限是“近似值”那么汽车绝对不会超过人，所以极限应是“严格值”并不是“近似值”极限的定义也是充分表现这点的。极限是高等教学的重要方法，也就是有限数学向无穷小分析数学过渡的关键所在，对极限准确无误的理解，对学习高等数学有着深远的意义。

参考文献：

[1]无穷分析引论.欧拉著，张延伦译.山西教育出版社.1997-1

作者简介：

顾忠生（1964-），男，云南曲靖人。本科，中教高级职称，研究方向：工程数学与应用。