巧用数学思想提高解题能力

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）01-0128-01

乔治·波利亚在数学教育上的研究主要是“解题”、“解题教学”和“数学教师培训”三个领域。波利亚最为强调两点之一是“教会年轻人思考”，也就是“接近‘解题”。他实质上是把“解题能力”作为“中学”数学的第一目的，从他的著作可以看到他的“解题”主要是指数学内部问题，并没有十分关注解实际的生活中的问题（但他并不排斥这一点）；“解题是最富有特征的、特殊类型的、有目的的思考”，亦就是说解题是培养学生思维能力的重要途径。在解题过程中渗透利用数学思想，可以使学生在冥思苦想之后，及时地改变思考问题的角度，另辟蹊径进行求解，提高了解题能力，有利于发展学生的数学思维，提高创造能力。

一、数形结合思想

数形结合数学从辩证法意义上讲，没有数形结合，仅是孤立地研究物质世界的数量关系或空间形式，十分狭隘和肤浅，不但数学的发展受到遏制，而且人类对物质世界客观规律的认识也永远只能处于片面的、孤立的、浅表的状态。

数形结合思想，把问题的数量关系转化为图形的性质，或将图形的性质转化为数量关系，是数学活动中的一种十分重要的思维策略。形与数的结合，不仅使几何问题获得有力的代数工具，同时也使数学课题具有明显的直观性。著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”因此化数为形，化形为数，数形结合，相互为用，是数学的重要思想方法之一。

1.化数为形

将抽象的代数问题，通过构造图形化抽象为具体，借助直观，启发思维，转化为易解的几何问题。

例1 已知：x<0，y>0且y<|x|，问x，-x，y，-y的大小顺序。

解：构造数轴

显然 x<-y

析解：如上图所示，若以x+y为直径作半圆，且在图形上分别作出和，则结论显然成立。

2.化形为数

不易证明的几何问题，通过设辅助字母运用代数、三角知识，借助计算，把图形的性质定量化，从而证得所证结论。

例3 已知：如图，P为等边三角形ABC外接圆劣弧上任意一点。

求证：⑴ PB+PC=PA ⑵PB·PC=PA2-PC2

证明：设△ABC边长为a，在△PAC中，∠APC=60°

∴ a2=PA2+PC2-2PA·PC·cos60°

即PC2-PA·PC+（PA2-a2）=0 ①

在△PAB中，同样有PB2-PA·PB+（PA2-a2）=0 ②

由①、②可知：PB、PC都是方程

x2-PA·x+PA2-BC2=0的两根。

∴ PB+PC=PA PB·PC=PA2-BC2

二、变换与转化

解答数学题，往往通过多种多样的变换，实现问题的转化，化未知为已知，化陌生为熟知，化繁难为简易，化综合为单一，因此转化是解题的有力杠杆。

1.变换条件（或结论）

有些题目的条件（或结论）比较复杂或难以入手，可设法等价的变换。

2.几何中的变换

全等变换主要包括平移、对称、旋转。由此可适当添作辅助线，实现由未知向已知的转化，架起沟通条件与结论的桥梁。

例 已知：如图，设D是等腰直角三角形ABC底边BC的中点，P是BC上任意一点，作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求证：DE=DF

析证：为了使DE和DF集中在一起，使之成为同一三角形两边，以BC为轴，作Rt△ABC的对称图形，得正方形ABA′C，问题转化为DE=DF′

证明：∵ D是正方形ABA′C对角线BC的中点

∴ D在BA′的垂直平分线上

∵ EF′∥BA′， EF′=BA′

∴ D在EF′的垂直平分线上

∴ DE=DF′ 又DF′=DF

∴ DE=DF

当然，数学思想不止这些。真正将学生从题海中解放出来，又能提高他们分析问题、解决问题的能力，又有利于发展思维，应该克服过分强调哪类问题用哪种解法的教学倾向，应该重视对学生数学思想的培养，从而提高解题能力。

作者简介：

忽培明（1972-），任石河子第十七中学初中数学教师，中教一级。