对称思想与数学解题

蔺守臣

【摘要】对称思想是一种重要的数学思想。本文通过归纳、列举典型例题，其一说明对称思想在数学中存在的普遍性；其二在解题过程中，只要抓住这一特点，既可以提高学生解题的速度，掌握解题的技巧，又可以培养学生学习数学兴趣。

【关键词】对称思想 解题

【中图分类号】G42 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）01-0142-02

“对称”一词，起初是人们通过对自身的“脸部”结构分析而产生的词语。后来人们把它扩充到现实世界中的图形或物体对某个点、直线、平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系。

对称思想是一种重要的数学思想，它存在于数学的各个方面。本文通过归纳、列举一些典型例题，其一，充分反应“对称思想”在数学中存在的普遍性；其二，抓住对称关系，掌握对称技巧，提高解题速度，确保解题的正确性，培养学生数学兴趣，提高学生解决问题和分析问题能力，笔者对此做了一些尝试，供从事数学教学与研究者借鉴。

1.已知f（x）的间接关系式，求f（x）表达式的问题

例1：已知■，求f（x）的表达式。

解：∵■，把-x换成x，于是：

■ ①

■ ②

①×3-②×2得：■

∴■.

∵■，

∴■

故■，■

例2：设■满足■，（其中abc≠0，且a≠±b）.求■的表达式。

解：用■代换x，得：

■，①

■②

由②×a-①×b得：■

∵a≠±b，

∴■

点评：例1利用-x与x的对称性，反映了f（-sinx）与f（sinx）的对称性；例2利用f（■）与f（x）的对称性，使得解题思路开阔，以达到异曲同工之目的。

2.作函数图形的问题

作函数图形可充分利用：

（1）若■，则函数图形关于y轴对称；

（2）若■，则函数图形关于原点O（0，0）对称；

（3）若■或■，则函数图形关于直线x=a对称；

（4）■图象则与■的图象关于x轴对称；

（5）■图象则与■的图象关于直线y=x轴对称。

利用上述结论来作图，既方便，又快捷。

3.等式或不等式的证明问题

例3：在锐角△ABC中，求证：

■

分析：在左右两边均是关于A、B、C的完全对称式，只需比较其中对称的任两项之和的大小关系。

证明：∵■

■

若■则■矛盾。

∴■

又■

∴■

∴■

同理■

■

三式两边分别相加并除以2，即可得到要证明的不等式。

4.立体几何中对称性问题

立体几何中，如多面体、旋转体，其对称性是最为普遍的，有点对称、线对称，还有面对称，掌握这些对称关系，能够提高空间想象能力和解决问题的能力。

例4：已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F分别是BC、A1D1的中点，求证：B1EDF是菱形。

分析：如图，应有，

■

∴B1F=B1E=DE=DF.

又点E、F关于正方体中心对称，线段DB1关于正方体的中心对称，所以，EF与DB1是互相平分，由平面几何知识可得B1EDF是菱形。

5.在有关弦的对称点上的应用问题

一般在圆锥曲线动弦的弦长及斜率问题中，对称性思想出现较为频繁。

例5：已知椭圆■和直线■，为使椭圆上存在关于直线的两个不同的对称点，求k的取值范围。

解：若存在两个不同的对称点，则直线■和椭圆■有两个交点，由

■

■

分析：

（1）当k=0时，此时■为y=0（即x轴为对称轴）.所以存在关于直线的对称点.

（2）当k≠0时，假设MM'是椭圆上关于直线■的中点p0（x0，y0），所以根据定理，MM'的斜率：■。

∴直线■垂直平分MM'。

∴■∴■.

又p0（x0，y0）点在直线■上，

∴■

∵p0（x0，y0）是弦MM'的中点，p0在椭圆内，

∴■.

化简得：■

∴■

6.函数极值问题的对称原理

如果一个函数有若干个变量，而这些变量又具有对称性，则这个函数的极值往往是在这些变量都相等时取得，至于究竟是极大值还是极小值，由实际问题决定或靠理论做出判别，这就是极值问题的对称原理。

7.求极限、定积分时对称性的问题

微积分中，在求有些函数的极限、有些函数的定积分问题，可利用这些函数的一些特殊性质（如函数的奇偶性），使问题的解决得以简化。

例6：如图所示，证明：（1）若■在■上连续，且为奇函数，则■；

（2）若■在■上连续，且为偶函数，则■。

■为偶函数 ■为奇函数

证明■

对积分■作变量代换■，则有

■

所以■

（1）若■为奇函数，即■，■0故

■

（2）若■为偶函数，即■，则■■，从而有■

从本例可以得出：奇函数在对称区间上的定积分为零，偶函数在对称区间上的定积分等于半个区间上积分值的两倍。因此我们可以用该结论去简化计算奇、偶函数在对称区间上的定积分。

几何解释：从图上看，对于在[-a，a]上连续的偶函数，由于阴影所示的图形关于y轴是对称的，于是这一图形的面积■，恰好是图形位于y轴右侧部分面积■的两倍，对于在[-a，a]上连续的奇函数■，由于阴影所示的图形关于原点对称可知，左下方图形的面积与右上方图形的面积大小相等，但它们的对应的定积分却符号相反，即■■，于是积分结果：■ 对称思想是一种重要的数学思想，它存在于初等数学的各个方面，但从问题出现的形式、章节内容方面，却显得比较零散，而对该问题进行专题性的研究、探讨性的文章，还比较少。本文对“对称思想”的研究，仅限于在数学教学中的几点体会，深层次的理论研究将有待于进一步探讨。

参考文献：

[1]袁其书.数理化教学理论研究与实践，江西高校出版社，2002.

[2]陆海，郑文.高等数学，南开大学出版社，2012.